11.Формулы Крамера для решения слу.

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы т.е. определитель матрицы А

 = det (a_{i j})

и n вспомогательных определителей  _i (i= ), которые получаются из определителя  заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

  x _i =  _i ( i  =  ).       (1)                                         

Из (1) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы: если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x _i =  _i / .

Если главный определитель системы  и все вспомогательные определители  _i = 0 (i=  ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы  = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

12.Метод Гаусса для решения слу.

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица   называется основной матрицей системы,   — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных  .

Тогда переменные   называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число  , где  , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть   для любых  .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом   ( , где   — номер строки):

, где 

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Следствия: 1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой.

2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

13. Системы m линейных уравнений с n переменным, базисные допустимые решения.

В общем виде система m уравнений с n переменными записывается так:

.                        (1)

Числа     называются коэффициентами при переменных, а  - свободными членами.

Совокупность чисел называется решением системы (1), если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.

Система mлинейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.