2.3.2. Дисперсия.

Зная лишь математическое ожидание случайной величины, нельзя судить о том, какие возможные значения она может принимать или о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Например, пусть случайные величины X и Y имеют распределения:

X	-0,01	0,01
P	0,5	0,5

Y	-100	100
P	0,5	0,5

Несмотря на столь большое различие между возможными значениями этих величин, они имеют одинаковые математические ожидания: M(X) = M(Y) = 0.

Нужна другая числовая характеристика – дисперсия. Но сначала дадим определение отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Определение: Отклонением называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием:

X – M(X).

Пусть дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X			…
P			…

Напишем закон распределения отклонения. Для того, чтобы отклонение приняло значение – M(X), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение .

Если P(X = )= , тогда и P(X – M(X) = – M(X)) = .

Аналогично для остальных значений. Таким образом, получаем закон распределения:

X – M(X)	– M(X)	– M(X)	…	– M(X)
P			…

Теорема: Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М(X – M(X)) = 0.

Доказательство: Пользуясь свойствами математического ожидания, и, приняв во внимание, что М(Х) – постоянная величина, имеем:

М(X – M(X)) = М(X) + М( – M(X)) = М(X ) – M(X) = 0.

Это свойство объясняется тем, что одни возможные значения отклонения положительны, а другие – отрицательны. В результате их взаимного «погашения» математическое ожидание равно нулю. Поэтому целесообразно заменить отклонения их квадратами.

Определение: Дисперсией (рассеянием) случайной величины (непрерывной или дискретной) называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = М(X – M(X))²_.

Из данного определения следует, что дисперсия – неслучайная (постоянная) величина, и она неотрицательна.

Согласно данному определению, дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле:

D(X) = ( – M(X))² + ( – M(X))² + … + ( – M(X))² .

Если Х – непрерывная случайная величина, возможные значения которой принадлежат отрезку , а плотность распределения равна f(x), то дисперсию можно вычислить по формуле:

_{Заметим, что вместо отрезка может быть интервал или полуинтервал.}

Если возможные значения Х принадлежат всей числовой оси, то дисперсию можно вычислить по формуле:

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема: Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом математического ожидания этой величины:

D(X) = М(X ²) – M ²(Х)_.

Доказательство: М(Х) – постоянная величина, следовательно, 2М(Х) и M ²(Х) также постоянные величины. Пользуясь свойствами математического ожидания, имеем:

D(X) = М(X – M(X))² = М(Х ² – 2ХМ(Х) + M ²(Х)) = М(Х ²) –

– М(2ХМ(Х)) + М(M ²(Х)) = М(Х ²) – 2М(Х)М(Х) + M ²(Х) =

= М(X ²) – M ²(Х)_.

Согласно этой теореме и формулам для математического ожидания, запишем новые формулы для вычисления дисперсии дискретной и непрерывной случайных величин соответственно:

где f(x) – плотность распределения непрерывной случайной величины Х.

Пример: Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	2	3	5
P	0,1	0,6	0,3

Вычислим дисперсию X по теореме:

D(X) = М(X ²) – M ²(Х) = 2² 0,1 + 3² 0,6 + 5² 0,3 – (2 0,1 +

+ 3 0,6 + 5 0,3)² = 13,3 – (3,5)² =1,05.

Заметим, что дисперсия - характеристика рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Рассмотрим основные свойства дисперсии.

_{Свойство 1:} Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е.

D(С) =0,

где С – постоянная величина.

Доказательство: Воспользуемся определением дисперсии и свойством математического ожидания:

D(С) = М(С – M(С))² = М(С – С)² = М(0) = 0.

Действительно, постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния не имеет.

Свойство 2: Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е.

_D(СХ) =С² D(Х),

где С – постоянная величина.

Доказательство: Воспользуемся определением дисперсии и свойством математического ожидания:

D(СХ) = М(СХ – M(СХ))² = М(СХ – СM(Х))² =

= М(С² (Х – M(Х))² ) = С² М(Х – M(Х))² = С² D(Х).

Свойство 3: Дисперсия суммы двух независимых случайных величин X и Y равна сумме дисперсий этих величин:

D(X +Y) =D(X) + D(Y).

Доказательство: По формуле для вычисления дисперсии (согласно теореме) и по свойствам математического ожидания суммы нескольких случайных величин и произведения двух независимых случайных величин имеем:

D(X + Y) = М((X + Y) ²) – M ²(X + Y) = М(X ² + 2ХY + Y ²) –

–(M(X) + М(Y)) ² = М(X ²) + 2М(ХY) + М(Y ²) – (M ²(X) +2М(X) М(Y) + М ²(Y)) = М(X ²) + 2М(Х) М(Y) + М(Y ²) – M ²(X) – 2М(X) М(Y) – М ²(Y) = М(X ²) + М(Y ²) – M ²(X) – М ²(Y) = М(X ²) –

– M ²(X)+ М(Y ²) – М ²(Y) = D(X) + D(Y).

Из этого свойства вытекают два следствия.

Следствие 1: Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Доказательство: Пусть X, Y, Z – взаимно независимые случайные величины. Тогда, опираясь на свойство3, имеем:

D(X + Y + Z) = D(X) + D( Y + Z)= D(X) + D(Y) + D (Z).

Для произвольного числа слагаемых доказательство проверяется методом математической индукции.

Следствие 2: Дисперсия суммы постоянной величины С и случайной величины X равна дисперсии случайной величины X:

D(С + X) = D(X).

Доказательство: Величины С и Х независимы, поэтому, по свойству 3, получаем:

D(С + X) = D(С) + D(X) = 0 +D(X) = D(X).

Свойство 4: Дисперсия разности двух независимых случайных величин X и Y равна сумме дисперсий этих величин:

D(X – Y) = D(X) + D( Y).

Доказательство: Пусть X и Y – независимые случайные величины. Тогда, опираясь на свойства 2 и 3, имеем:

D(X – Y) = D(X) + D(–Y)= D(X) + (–1)²D(Y) = D(X) + D( Y).

Теорема: Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления р и непоявления q события в одном испытании:

_{D(X) = npq.}

Доказательство: Пусть Х – число появлений события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях:

,

где Х_i – число наступлений события в i-ом испытании, i = 1, …, n.

Величины взаимно независимы, т.к. исход каждого испытания не зависит от исходов остальных. Тогда по свойству 3 дисперсии имеем:

_.

Вычислим дисперсию числа наступлений события в первом испытании:

_.

_{Из ранее изложенной теории известно, что}

_.

Найдем M( ). Составим закон распределения случайной величины :

	p	q

_{Тогда получаем:}

_.

_{Очевидно,}

Пример: Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти D(X), где Х – число появлений события в этих испытаниях.

Решение: Так как n=10, p=0,6; q=0,4, то, согласно теореме, легко вычислить дисперсию: