Вероятностный смысл параметров:

а – математическое ожидание нормального распределения;

σ – среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

Действительно, по определению математического ожидания получаем:

т.к. первое слагаемое равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция, а пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), второе слагаемое – интеграл Пуассона .

По определению дисперсии, учитывая, что М(Х) = а, имеем:

Определение: Общим называется нормальное распределение с произвольными параметрами а и σ (σ > 0).

Определение: Нормированным называется нормальное распределение с параметрами а = 0 и σ = 1.

Пример: Пусть Х – нормальная величина с параметрами а и σ. Тогда – нормированная нормальная величина, M(U)=0, σ(U)=1.

Плотность нормированного распределения определяется формулой:

_.

Функция F(x) общего нормального распределения определяется формулой:

,

а функция нормированного распределения имеет вид:

Заметим, что вероятность попадания нормированной нормальной величины Х в интервал (0; Х) можно найти, пользуясь интегральной функцией Лапласа:

Действительно,

Заметим, также, что

Действительно, φ(x) – четная функция. Пользуясь свойством плотности и определением функции распределения, получаем:

Определение: График плотности нормального распределения называется нормальной кривой (кривой Гаусса).

График симметричен относительно прямой x = a.

При а = 0, σ = 1 нормальную кривую называют нормированной кривой.

Нормальная кривая имеет две точки перегиба:

.

Можно провести исследование функции методами дифференциального исчисления и убедиться в этом.

Заметим, что закон распределения нормальной случайной величины полностью определяется заданием а и σ. При изменении а график плотности не меняет своего вида, а лишь сдвигается влево или вправо. Поэтому а еще называют параметром сдвига.

Параметр σ – расстояние между точкой максимума и точкой перегиба. Поэтому говорят, что σ – мера «широты» кривой и называют параметром масштаба.

2.5.1. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

Рассмотрим случайную величину X ϵ N(a,σ). Воспользуемся формулой для вычисления вероятности попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Имеем:

(По свойству интегралов, промежуток интегрирования можно разбить любой точкой).

Пользуясь функцией Лапласа , получим:

Пример: Техническими условиями (ТУ) предусмотрено, что длина детали должна находиться в промежутке от 24 до 25 см. Пусть длина детали Х – нормально распределенная случайная величина с а = 24,6 см и σ = 0,4 см. Какая доля изготовляемых деталей будет иметь длину, выходящую за пределы, указанные ТУ?

Решение: Прежде чем найти долю изготовляемых деталей, имеющих длину, выходящую за пределы, указанные ТУ, найдем долю деталей, удовлетворяющих ТУ:

_{Теперь воспользуемся формулой вероятности противоположного события и получим ответ:}

2.5.2. Вычисление вероятности заданного отклонения.

Рассмотрим случайную величину X ϵ N(a,σ). Для вычисления вероятности заданного отклонения воспользуемся формулой вероятности попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Имеем:

Итак, получили:

В частности, при а = 0, имеем:

Заметим, что события, состоящие в осуществлении неравенств и – противоположные. Если тогда .