- •С.Е.Игнатова теория вероятностей
- •Санкт-Петербург
- •Утверждено редакционно-издательским советом сПбГиэу
- •Игнатова с.Е.
- •Содержание:
- •Предисловие
- •Введение
- •1.1. Предмет теории вероятностей.
- •Краткая историческая справка.
- •1. Правила действия со случайными событиями и вероятностями их осуществления.
- •1.2. Основные формулы комбинаторики.
- •1.3. Испытания и события.
- •1.4. Виды случайных событий.
- •1.5. Классическое определение вероятности.
- •1.6. Статистическая вероятность.
- •1.7. Геометрическая вероятность.
- •1.8. Аксиоматика а.Н. Колмогорова.
- •1.9. Алгебра событий.
- •1.10. Теоремы сложения вероятностей.
- •1.11. Условные вероятности, независимость событий и экспериментов.
- •1.11.1. Теоремы умножения вероятностей.
- •1.11.2. Формула полной вероятности.
- •1.11.3. Вероятность гипотез. Формула Байеса.
- •1.11.4. Схема независимых испытаний (схема Бернулли).
- •2. Случайные величины и законы распределения вероятностей.
- •2.1. Виды случайных величин.
- •2.2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
- •2.2.1. Функция распределения вероятностей случайной величины.
- •2.2.2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
- •2.3. Основные числовые характеристики случайных величин.
- •2.3.1. Математическое ожидание.
- •2.3.2. Дисперсия.
- •2.3.3. Среднее квадратическое отклонение.
- •2.3.4. Мода и медиана.
- •2.4. Производящие функции моментов.
- •2.5. Законы распределения вероятностей, наиболее распространенные в практике статистических исследований.
- •Вероятностный смысл параметров:
- •2.5.1. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.
- •2.5.2. Вычисление вероятности заданного отклонения.
- •2.5.3. Правило трёх сигм.
- •2.6. Последовательности случайных величин в дискретном вероятностном пространстве.
- •3. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.
- •4. Совместное распределение случайных величин.
- •4.1. Закон распределения двумерной случайной величины.
- •4.2. Вычисление основных числовых характеристик случайных величин х и y.
- •4.3. Условные распределения.
- •4.4. Зависимые и независимые случайные величины.
- •4.5. Коэффициент корреляции двух случайных величин и его свойства.
- •4.6. Независимость и некоррелированность.
- •4.7. Нормальный закон распределения на плоскости.
- •Вероятностный смысл параметров:
- •4.8. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии.
- •5. Последовательности, образующие цепь Маркова.
- •5.1. Равенство Маркова.
- •5.2. Финальные вероятности.
- •Заключение
- •Список литературы:
- •Сведения об авторе.
Предисловие
Настоящее учебное пособие написано на основе лекций по теории вероятностей, читаемых автором в течение ряда лет в Санкт-Петербургском государственном инженерно-экономическом университете студентам очной формы обучения специальности 080116 – математические методы в экономике.
В книге изложены основные понятия и методы теории вероятностей, все теоремы приведены с доказательством и разобраны примеры их использования на практике. Теоретический материал выстроен в соответствии с Государственным образовательным стандартом и соответствует рабочей программе «Теория вероятностей» по данной специальности.
При составлении книги автор ставил себе задачу изложить предмет наиболее просто и наглядно, придерживаясь, в то же время, общепринятой терминологии и точности формулировок определений и теорем.
Автор выражает благодарность профессору М.М. Галилееву, профессору В.В. Колбину, профессору И.Е. Погодину за ряд ценных указаний, а также студентам групп 3591 и 2691 СПбГИЭУ за помощь в оформлении данного учебного пособия.
Светлана Евгеньевна Игнатова
Введение
Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Методы теории вероятностей по природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений. Они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из которых остается неопределенным, случайным.
Чем большее количество однородных случайных явлений участвует в задаче, тем определеннее и отчетливее проявляются присущие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точностью можно осуществлять научный прогноз.
Во всех случаях, когда применяются вероятностные методы исследования, цель их в том, чтобы, минуя слишком сложное (в том числе, практически невозможное) изучение отдельного явления, обусловленного слишком большим количеством факторов, обратиться непосредственно к законам, управляющим массами случайных явлений. Изучение этих законов позволяет не только осуществлять научный прогноз в области случайных явлений, но в ряде случаев помогает целенаправленно влиять на ход случайных явлений, контролировать их, ограничивать сферу действия случайности, сужать ее влияние на практику.
Вероятностный метод в науке не противопоставляет себя классическому, обычному методу точных наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случайности.
Методы теории вероятностей весьма широко и плодотворно применяются во всех областях знания, в том числе и в экономике. Это вполне естественно, так как при углубленном изучении любого круга явлений неизбежно наступает этап, когда требуется не только выявление основных закономерностей, но и анализ возможных отклонений от них. Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со времен Адама Смита пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число математических методов, в том числе и вероятностных методов.
Математические законы теории вероятностей – отражение реальных статистических законов, объективно существующих в массовых случайных явлениях. К изучению этих явлений теория вероятностей применяет математический метод и по своему методу является одним из разделов математики, столь же логически точным и строгим, как другие математические науки.