1.6. Статистическая вероятность.

Прежде чем дать определение статистической вероятности, дадим определение относительной частоты.

Определение: Относительной частотой события называется отношение числа испытаний m, в которых событие появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний n:

Заметим, что вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

Пример: ОТК (отдел технического контроля) обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей.

В этом случае относительная частота появления нестандартных деталей равна:

Свойство устойчивости относительной частоты: В различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа.

Оказалось, что это постоянное число – вероятность появления события:

W(A) ≈ P(A).

Пример: По данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек за 1935 год по месяцам (начиная с января) характеризуется следующими числами:

0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Тогда W(A) ≈ 0,481 ≈ P(A) – приближённое значение вероятности рождения девочки.

Определение: Вероятностью события A называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота W(A) при неограниченном увеличении числа опытов.

Очевидно, что все свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

1.7. Геометрическая вероятность.

Определение: Геометрическая вероятность – это вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пример: Дан отрезок [0; 1] = L. На этот отрезок случайным образом ставится точка. Определить вероятность того, что эта точка попадает на левую половину отрезка (между точками 0 и 0,5).

Решение: Все возможные исходы испытания соответствуют точкам отрезка 0 ≤ x ≤ 1.

Пусть l = [0; 0,5]. Благоприятные исходы соответствуют точкам отрезка l: 0 ≤ x ≤ 0,5.

Т.к. этих точек бесконечно много, то m = ∞ и n = ∞. За вероятность рассматриваемого события примем отношение длин этих отрезков:

В других случаях исходы испытаний возможно геометрически представить точками некоторых площадей, объемов или же некоторыми углами. В этих случаях вероятность события определяется как отношение площадей, объёмов, углов и т.п.:

Вывод: Если обозначить меру (длину, площадь, объём и т.д.) области через mes, то вероятность попадании точки, брошенной наудачу в область , равна:

В следующем параграфе приведем аксиоматическое определение вероятности.

1.8. Аксиоматика а.Н. Колмогорова.

В системе аксиом, предложенных А.Н. Колмогоровым [4], неопределяемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность.

Приведем аксиомы, определяющие вероятность:

1) Каждому событию A поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(A). Это число называется вероятностью события A.

2) Вероятность достоверного события равна единице:

P(Ω) = 1.

3) Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.

Определение: Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова.

Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально.

Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.