2.3.3. Среднее квадратическое отклонение.

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения (математического ожидания) помимо дисперсии служат и другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Определение: Средним квадратическим отклонением случайной величины Х (дискретной или непрерывной) называют квадратный корень из дисперсии:

Размерность среднего квадратического отклонения (Х) совпадает с размерностью случайной величины Х. Дисперсия же D(Х) имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины Х. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют (Х), а не D(Х).

Например, если Х выражается в линейных метрах, то (Х) также выражается в линейных метрах, а D(Х) – в квадратных метрах.

Теорема: Среднее квадратические отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

_.

Доказательство: Пусть Х – сумма рассматриваемых взаимно независимых случайных величин:

_.

Тогда, по свойству 3 дисперсии, имеем:

_{Заметим, что дисперсию иногда записывают в виде .}

2.3.4. Мода и медиана.

Определение: Модой М₀(Х) (или x_mod) непрерывной случайной величины называется абсцисса максимума ее плотности.

Определение: Модой М₀(Х) (или x_mod) дискретной случайной величины называется наиболее вероятное значение этой случайной величины.

Пример: Пусть дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	-1	0	1
Р	0,7	0,2	0,1

Следовательно, мода равна М₀(Х) = -1.

Заметим, что мода может не существовать (например, все возможные значения Х равновероятны), или быть определена не единственным образом.

Пример: Пусть дискретная случайная величина задана законом распределения:

Х	1	2	3
Р	0,4	0,2	0,4

Следовательно, здесь существуют две моды: М₀⁽¹⁾(Х) = 1; М₀⁽²⁾(Х) = 3.

Определение: Если распределение случайной величины имеет единственную моду, то оно называется унимодальным, а если оно имеет несколько мод, то – полимодальным.

Мода играет важную роль в экономических задачах статистики. Например, обувной завод делает заготовки в расчете на самый «модный» размер.

Определение: Медианой случайной величины Х называется такое ее значение m_e ,для которого ,

т.е., одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше m_e .

Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

Заметим, что медиана всегда существует.

Пример: Пусть дискретная случайная величина задана законом распределения:

Х	0	1	3
Р	0,3	0,5	0,2

Следовательно, m_e =1.