Условия возможности одновременного измерения физических величин.

Важным вопросом в квантовой механике является вопрос о возможности одновременного измерения в некоторой квантовой системе значений двух физических величин, например, координат и импульса микрочастицы, двух компонент импульса и т.д.

Покажем, что необходимым и достаточным условием возможности одновременного точного определения двух физических величин α и β является коммутативность соответствующих им операторов и , т.е. или · = · . Иначе говоря, волновые функции квантового состояния, являющиеся собственными функциями операторов двух физических величин, совпадают только в случае коммутативности этих операторов. Докажем необходимость этого условия. Пусть операторы и имеют общие собственные функции, т.е. соответствующие им физические величины одновременно измеримы, тогда Ψ = αΨ умножим справа на :

Ψ = βΨ умножим справа на :

Таким образом, , т.е. операторы и коммутируют.

Достаточность этого условия доказывается следующим образом. Пусть операторы и коммутируют, и пусть Ψ – собственная функция оператора . Докажем, что Ψ является также собственной функцией оператора .

Так как Ψ – собственная функция оператора , то Ψ = βΨ.

Так как операторы и коммутируют, то .

Это означает, что функция так же, как и Ψ является собственной функцией оператора , и они должны совпадать с точностью до численного множителя, т.е. Ψ = αΨ.

Но это и означает, что Ψ – собственная функция оператора .

Таким образом, коммутирующие операторы, имеющие совпадающие собственные функции, соответствуют физическим величинам, которые могут быть определяемы одновременно.

12. Измерение физических величин в квантовой механике(вероятностный подход). Среднее значение физических величин.(см_11)

2.Существуют такие квантовые состояния, когда серия измерений, проведенных в одних и тех же условиях, каждый раз дает различные значения _f1, _f2 …и т.д. Тогда говорят, что физическая величина f не имеет определенного значения. В этом случае можно рассчитать вероятность P_n получения некоторого результата f_n, зная которую можно определить среднее значение величины и ее среднеквадратичное отклонение (дисперсию) . Волновая функция Ψ такого квантового состояния не является собственной функцией оператора , а состояние системы можно представить в виде суперпозиции собственных состояний этого оператора.

Для определения вероятности Р_n получения значения f_n воспользуемся тем, что любую волновую функцию Ψ(х) можно разложить в ряд по собственным функциям ψ_n(х) оператора , Умножим это выражение на и проинтегрируем по всей области изменения х.

13. Стационарное уравнение Шредингера для потенциальной ямы (одномерный случай).

Свободная частица – это частица, движущаяся в отсутствие внешних силовых полей. Поскольку внешние силы не действуют, потенциальная энергия U=U(x)= const (для одномерной задачи), и ее можно приравнять нулю. Следовательно, полная энергия частицы будет равна ее кинетической энергии.

Стационарное уравнение Шредингера для одномерной задачи движения свободной частицы вдоль оси х приобретает вид .

С учетом соотношений между импульсом и кинетической энергией и волновым числом уравнение можно переписать в виде .

Решением этого уравнения будет или , где А и В – некоторые постоянные.

Тогда полная волновая функция свободной частицы может быть определена как

или в виде .

Решением уравнения Шредингера для свободной частицы является суперпозиция двух плоских монохроматических волн одинаковой частоты, одна из которых распространяется в положительном направлении оси х (с амплитудой А), другая – в отрицательном направлении оси х (с амплитудой В).

Таким образом, свободная частица в квантовой механике описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Плотность вероятности обнаружения частицы в некоторой точке пространства (рассмотрим для простоты только одну волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х) не зависит от времени, т.е. все положения свободной частицы в пространстве равновероятны.