5. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку ортогонально заданному вектору.

Возьмем произвольную прямую и вектор (m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой.

            На прямой возьмем две произвольные точки М₀(x₀, y₀, z₀) и M(x, y, z). 

            Обозначим радиус- векторы этих точек как и , очевидно, что -  = .

Т.к. векторы    и  коллинеарны, то верно соотношение = t, где t – некоторый параметр.

            Итого, можно записать: =  + t.

6. Общее уравнение плоскости. Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения плоскости.

Рассмотрим произвольную точку в пространстве и некоторый вектор Очевидно, что геометрическим местом точек таких, что вектор перпендикулярен вектору будет плоскость, проходящая через точку M перпендикулярно прямой, для которой вектор является направляющим. Нашей задачей будет установить уравнение плоскости, то есть найти соотношение, которому удовлетворяют координаты точки A.

Запишем условие перпендикулярности векторов с использованием скалярного произведения:

Запишем последнее равенство в координатах:

Поскольку все наши выкладки были равносильными, то это и есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Преобразуем его к виду

Обозначая получим

Это и есть так называемое общее уравнение плоскости.

7. Уравнение плоскости в отрезках.

Исследование общего уравнения плоскости

                               ,                              (7)

где  – координаты ее нормального вектора, производится аналогично исследованию общего уравнения прямой на плоскости. Приведем ниже все случаи.

   Если , то уравнение (7) может быть записано в виде уравнения плоскости в отрезках:

                                                                       (10)

– плоскость, отсекающая от осей координат отрезки величиной а, b  и с соответственно, где обозначено

                        .

                 

8. Определение угла между плоскостями. Формула вычисления косинуса угла между плоскостями с выводом.

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ.

Рассмотрим две плоскости α₁ и α₂, заданные соответственно уравнениями:

П од углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α₁ и α₂ равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .