9. Параметрические уравнения прямой.

            Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

            Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

.

 Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где - координаты некоторой фиксированной точки , лежащей на прямой, - координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

10. Уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному ненулевому вектору (канонические уравнения).

Поставим следующую задачу:

Составить уравнения прямой, проходящей через данную точку M(x0, y0, z0) параллельно данному вектору a= {l, m, n} ≠ 0(вектор a называется направляющим вектором прямой).

Решение. Пусть N(x, y, z) — произвольная точка пространства. Построим вектор

MN = {x − x0,  y − y0,  z − z0} (рис.1).

Очевидно, что точка N принадлежит прямой тогда и только тогда, когда вектор MN коллинеарен вектору a= {l,  m,  n} , т.е. когда их координаты пропорциональны:

(x − x0)/l = (y − y0)/m = (z − z0)/n

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

11. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

.

            Кроме того, для точки М₁ можно записать:

.

Решая совместно эти уравнения, получим:

.

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

12. Преобразование одного вида уравнений в другой.

13. Определение угла между прямыми. Вычисление величины угла между прямыми.

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.

14. Условие параллельности прямой и плоскости.

Определение 1. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются. Теорема 1. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то на параллельна и самой плоскости.

Доказательство. Пусть  - плоскость, а - не лежащая в ней прямая и b - прямая в плоскости , параллельная прямой а. Проведем плоскость  через прямые а и b. Плоскость  и  пересекаются по прямой b. Если бы прямая а пересекала плоскость , то точка пересечения принадлежала бы прямой b. Но это невозможно, т.к. прямые а и b параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость , а значит, параллельна ей. Теорема доказана.

15. Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Теорема 3.1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Пусть b и c – две пересекающиеся прямые плоскости α, d – произвольная прямая плоскости α, a   b, a   c. Выбираем на этих прямых векторы  как показано на чертеже 3.2.1. Поскольку векторы и  неколлинеарные, то где x и y – некоторые числа. Кроме того, заметим, что так как и Теперь имеем: следовательно, и , а d – произвольная прямая плоскости α. Откуда, по определению что и требовалось доказать.

Сформулируем некоторые теоремы, устанавливающие связь между параллельностью и перпендикулярностью в пространстве.