24.Обобщенная теорема Виета для многочлена п-й степени(без доказательства).

Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным его корням.

Формулировка

Если  — корни многочлена

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

Иначе говоря ( − 1)^ka_k равно сумме всех возможных произведений из k корней.

Если старший коэффициент многочлена , то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a₀ (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

ГЕОМЕТРИЯ

1. Векторы в пространстве. Сумма и разность векторов, умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Угол между векторами.

Вектор – направленный отрезок. Другими словами, вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой концом.

Длиной (модулем) ненулевого вектора называется длина отрезка AB. Она обозначается как Длина нулевого вектора равна нулю:

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Поскольку нулевой вектор может иметь произвольное направление, то разумно считать его коллинеарным любому ненулевому вектору.

Суммой двух векторов и называется новый вектор который обозначается и получается следующим образом.

4

Рисунок 9.1.4

Отложим от произвольной точки A вектор , равный Теперь от точки B отложим вектор равный Вектор и называется суммой векторов и   Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Для любых векторов   и справедливы равенства:

(переместительный закон);

(сочетательный закон).

• Р азностью векторов и называется такой вектор сумма которого с вектором равна вектору Обозначается разность векторов так: где – вектор, противоположный вектору (рис. 9.1.6).

Произведением ненулевого вектора на число k называется вектор длина которого равна причем при k > 0 векторы и сонаправлены, а при k < 0 – противонаправлены. Произведением любого числа на нулевой вектор является по определению нулевой вектор.

Из этого определения следует, что векторы и коллинеарны. Кроме того, произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор.

Для любых векторов   и любых чисел k и l справедливы равенства:

(сочетательный закон);

(первый распределительный закон);

(второй распределительный закон).

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Поскольку нулевой вектор может иметь произвольное направление, то разумно считать его коллинеарным любому ненулевому вектору.

Для коллинеарности вектора ненулевому вектору необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число λ, что

КОМПЛАНА́РНЫЕ ВЕ́КТОРЫ [от лат. com(cum) — вместе и planum — плоскость], векторы, параллельные одной плоскости.

Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.