16. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Геометрический смысл умножения комплексных чисел.
Пусть
и
φ = arg z. Тогда по определению аргумента
имеем:
|
Отсюда получается
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ). |
Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.
Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) и z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2). Имеем:
|
|
Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы.
Умножение комплексных чисел имеет следующий геометрический смысл: если некоторому комплексному числу z1 = r1 (cos φ1 + isin φ1) соответствует вектор OM1, а другому комплексному числу z2 = r2 (cos φ2 + isin φ2) вектор OM2, то произведению z1 * z2 = r1 * r2 (cos(φ1 + φ2) + isin(φ1 + φ2)) соответствует вектор OM, получившийся из вектора OM1 поворотом на угол φ2 и растяжением в r2 раз при r2 ≥ 1 или сжатием в 1/r2 при 0 < r2 < 1.
17. Возведение комплексного числа в п-ю степень. Формула Муавра.
Формула Муавра
Пусть
комплексное
число z представлено
в тригонометрической форме: z
= r(cosφ
+ i sinφ),
где r – модуль
данного числа, а φ его аргумент.
Поскольку при умножении комплексных
чисел их модули умножаются, а аргументы
складываются, имеем: z2
= r2(cos2φ
+ i sin2φ),
z3 = r3(cos3φ
+ i sin3φ),
… Поэтому легко доказать (например,
методом полной математической индукции)
формулу Муавра, имеющую вид zn
= rn(cosnφ
+ i sinnφ).
С помощью формулы Муавра можно получить
формулы, выражающие cosnφи sinnφ
через синус и косинус числа φ:
здесь
–
биномиальные
коэффициенты.
18. Определение комплексного корня п-й степени из комплексного числа. Формула корней из комплексного числа. Геометрический смысл комплексных корней п-й степени из единицы.
Корни из комплексных чисел.
Определение. Пусть
и
.
Корнем n-й степени
из комплексного
числа
z называется комплексное число
,
такое, что
.
Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)
Для любого ненулевого комплексного числа
,
где
,
существует ровно n корней
n-й степени
из комплексного
числа
z и все они могут быть найдены по формуле
,
(3)
где
,
–
арифметический корень
n-й степени
из положительного числа
.
19. Многочлены от одной переменной. Степень многочлена. Равные многочлены. Основные свойства операций сложения и умножения многочленов.
Многочлен ax + b , где a!=0, a, b − числа, x − переменная, называется многочленом первой степени .
Многочлен ax2+bx+c, где a!=0, a , b , c − числа, x − переменная, называется многочленом второй степени ( квадратным трёхчленом , квадратичной функцией ).
Многочлен ax3+bx2+cx+d, где a!=0, a , b , c , d − числа, x − переменная, называется многочленом третьей степени .
Вообще, многочлен
P
n
(
x ) = a n
x
n
+
a n
– 1
x n
– 1
+ a n
– 2
x n
– 2
+ ... +
a 1
x + a 0
, где a!=0, ak
k=0
1
2
3
n
− числа, x
− переменная, называется многочленом
n -ной степени
. Традиционно an называется старшим
коэффициентом
, а a0 − свободным
членом многочлена.
Два Многочлена называются равными, если после приведения подобных все члены с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но, может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты этих Многочлен оказываются равными нулю. В последнем случае Многочлен называется тождественным нулём и обозначают знаком 0.
Равенство многочленов
где
-
коэффициенты многочлена g(x)
(
- старший коэффициент).
Сложение многочленов
Если
то
где
то
Умножение многочленов
где
В частности,
