2. Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты точки. Координаты вектора. Вычисление расстояния между точками.

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.

Положение любой точки P в пространстве (в частности, на плоскости) может быть определено при помощи той или иной системы координат. Числа, определяющие положение точки, называются координатами этой точки.

Наиболее употребительные координатные системы - декартовы прямоугольные.

Координатами вектора а в декартовой системе координат называются координаты его конечной точки при условии, что начальная точка вектора лежит в начале координат.

Расстояние между точками A₁ и A₂ можно вычислить по формуле

3.Вывод формул для координат точки, делящей отрезок в заданном отношении.

Если x₁ и y₁ - координаты точки A, а x₂ и y₂ - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении , определяются по формулам

Если , то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам

3. Определение скалярного произведения двух векторов и его свойства. Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами. Вычисление косинуса угла между векторами. Признак перпендикулярности ненулевых векторов.

Скалярным произведением векторов и называется произведение их длин на косинус угла между ними:

Совершенно аналогично, как в планиметрии, доказываются следующие утверждения:

• Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

• Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.

• Скалярное произведение двух векторов и заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле

Перечислим основные свойства скалярного произведения, которые также доказываются аналогично планиметрическим.

Для любых векторов   и и любого числа λ справедливы равенства:

1. причем

2. (переместительный закон).

3. (распределительный закон).

4. (сочетательный закон).

Если векторы и заданы своими координатами: , ,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле .

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов .

Угол между векторами , , дается формулой , или в координатах

.

Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, для которых данные вектора являются направляющими.

Если угол между векторами равен 90°, то такие вектора называются перпендикулярными