Трубопроводы.

Трубы в криогенных сосудах, имеющие разные температуры по концам, следует рассматривать как тепловые мосты. При большой длине трубы теплоприток к ней следует определять с учетом теплового потока к боковой поверхности. Рассмотрим трубу сосуда длиной l, окруженную концентрическим кожухом, с изоляцией диаметром D_ИЗ, теплый конец – Т_т, холодный – Т_х.

Определить температуру стенки трубы по ее длине и тепловой поток на холодном конце трубы.

Д

Х=0

δ_тр

Т_Т=Т₀

Q_х

Q_х+dQ

Т_х=Т_ж

dQ

х

dx

l

D_тв

D_из

D_тн

Т

Рис.31

опущения:

λ_ТР = const,

Т_СТ = const по сечению,

λ_{ИЗ ПРОД} = 0.

Уравнение баланса для элемента dx :

dQ═Q_x+dx - Q_x (1)

Q_x= ─λ_тр f (dT/dx)

Q_x+dx= ─λ_тр f d[T+ (dT/dx)dx]

¯¯¯¯¯¯¯dx¯¯¯¯

f=πδ_тр(D_тв+ δ_тр)

dQ= 2πλ_из(T₀-T) dx

¯¯¯ln(D_из/D_тн)¯¯¯ , ãде

D_тн= D_тв+2δ_тр

Если T₀-T=υ ,то dT= - dυ;

dT/dx= - dυ/dx; d ²T/ dx²= - d ²υ/dx²;

Подставив все выражения в (1), и преобразовав его, получим однородное линейное дифференциальное уравнение.

d ²υ/ dx²=φυ, где

2πλ_из

φ=

λ_трf ln(D_из/D_тн)

Общее решение известно:

υ=c₁e^φx+ c₂e^-φx (2)

Для определения констант интегрирования задаются следующие граничные условия:

при x=0 T=T₀ υ=υ₀=0

при x=l T=T_x υ=υ_x= T₀ - T_x

Подставив граничные условия в (2), найдем значение υ=f(x).

υ_хол

(e^φx - e^-φx)

e^φl - e^-φl

(3)

υ_x=

Тепловой поток на холодном конце (x=l) с учетом зависимости (3):

Q _x=λ_трf (dυ/dx)_x = λ_трfφ(T₀ - T_x) cth (φl)

(4)

Для практики удобно такое отношение:

Q _x/ Q _ср=φl cth (φl), где

Q _ср=(λ_тр/l) f (T₀ - T_x)

При малых значениях φl отношение Q _x/ Q _ср=1.

С увеличением l (φ=idem) это отношение возрастает, а тепловой поток (абсолютная величина) Q _x уменьшается.

cth (x)=

1+e^-2φ

1 -e^-2φ

l

с учетом теплопритока

T₀

T_x

Рис.32

Теплоприток по трубе с потоком холодного газа.

Основной пример-горловина сосуда.

x

δ

D_тн

l

T_г

m

T_ст= T_т

T_ст= T_х

Q_x+dx

dQ_к

D_из

D_тв

x

dx

x=0

Q_x

dQ_из

Т

Рис.33

Условия постановки задачи:

• поле одномерное

• λ_из и λ_тр не зависят от температуры

• α=const

• теплоприток излучением и аксиальная теплопроводность изоляции и паров отсутствует

Тогда

Q_x+dx - Q_x - dQ_к + dQ_из= 0

Q_x+dx = λ_трf d/dx[T_ст+(d T_ст/dx) dx]

dQ_к =απ D_тв (T_ст – T_г)dx

Q_x = λ_трf (dT_ст/dx)

2πλ_из(T_т – T_ст)

dx

ln(D_из/ D_тн)

dQ_из=

2πλ_из(T_т – T_ст)

ln(D_из/ D_тн)

λ_трf (d²T_ст/dx²) - απD_тl(T_ст – T_г) + = 0, (1)

где f = π(D_тв+δ),

T_ст – температура стенки текущая

T_г – температура газа текущая.

Уравнение энергии потока газа:

mc_срdT_г/dx+απD_тв(T_ст – T_г)=0, (2)

где m – расход газа.

Решения уравнений (1) и (2) при граничных условиях

x=0 T_ст = T_х T_ст – T_г =ΔT_вх

x=l T_ст = T_т

В результате решения имеем:

(систему уравнений (1) и (2) можно привести к безразмерному виду и далее к линейному дифференциальному уравнению третьего порядка).

Q_x

A₁γ₁ + A₂γ₂ + A₃γ₃

(3)

Q_ср

=

(γ₃² – γ₁² )(e^γ2 - e^γ1) - (γ₂² – γ₁²)( e^γ3 - e^γ1)

где Q_ср = λ_трf(T_т – T_х)/ l

A₁ = (γ₂² – β²) e^γ3 -(γ₃² – β²) e^γ2

A₂ = (γ₃² – β²) e^γ1 -(γ₁² – β²) e^γ3

A₃ = (γ₁² – β²) e^γ2 -(γ₂² – β²) e^γ1

γ₁= [H(k+ β²)/2k] -√ [H(k+ β²)/2k]² + β²

γ_2,3= - k/(2H) ±√ (k/(2H))² + k + β²

H=mc_рl/(λ_трf)

k=πNuλ_гl²/(λ_трf)

2πλ_изl²

β

λ_трf ln(D_из/ D_тн)

² =

Если β/H<0.05, т.е. расход газа велик, а теплоприток мал, уравнение (3) упрощается (γ₁=0) и расчет можно вести графически.

Q_x/ Q_ср

0.75

0.5

0.25

0.1 1.0 10 H

k=1

k=2

k=6

k=10

k=∞

Рис.34

При ламинарном режиме течения Nu=3.66. В широких горловинах Nu=0.55Ra^0.2.

Критерий Релея:

mc_рρ²D_втl(T_т – T_х)g

π λ_гηT_ор

Ra=

η – динамическая вязкость.

Относительная(безразмерная) разность температур на теплом конце:

1 γ₂² γ₃²(e^γ2 - e^γ3)

k γ₃²(e^γ2 – 1) – γ₂²(e^γ3 – 1)

θ_т=

По определению θ_т= (T_т – T_{г т})/( T_т – T_х)

Откуда T_{г т}= T_т – θ_т( T_т – T_х)

Коэффициент использования холодного газа, идущего через трубу:

ξ= (T_{г т} – T_гх)/( T_т – T_гх)

Теплофизические параметры следует определять при средне интегральной температуре. Приближенно для О₂ и N₂ она на 10К ниже среднеарифметической, а для Не на 30К.

Поток тепла по горловине можно снизить почти в 15 раз за счет холода паров.