Основні поняття та означення функції багатьох змінних. Способи задання функції. Область визначення. Графіки. Лінії рівня.

На практиці досить часто функція y залежить не від однієї змінної x, а від багатьох аргументів x₁,…,x_n.

Означення. Множина значень {x₁,…,x_n}, за яких вираз f(x₁,…,x_n) має зміст, називається областю визначення функції від n змінних y = f(x₁,…,x_n).

Приклади.

1. Функція від двох змінних z=3x+5xy+y². Область визначення цієї функції - всі пари дійсних чисел (x;y).

2. Функція від чотирьох змінних y=2x₁+3x₂-x₃+7x₄.

3. Функція від трьох змінних V=V(a,b,c)=abc. Об’єм паралелепіпеда є функцією від довжин його сторін.

4. Функція від двох змінних Q=F(K,L). Обсяг випущеної продукції Q є функцією від кількості затраченого капіталу K та кількості затраченої праці L. Областю визначення цієї функції є множина {K0; L0}.

5. Область визначення функції визначається з нерівності 100-x²-y²0, тобто x²+y²10². Це круг з центром у початку координат і радіусом r = 10.

Ф ункція від двох змінних (аргументів) f(x,y) представляє собою деяку поверхню в трьохвимірному просторі. Зокрема, графіком функції є верхня половина сфери (рис. 6.1).

z

6 8 10 y

x

Рис. 6.1.

Функції від двох змінних геометрично зображають також за допомогою ліній рівня (ліній однакового рівня, ізоліній).

Означення. Лінією рівня функції від двох змінних z=f(x,y) називається множина точок площин OXY таких, що f(x,y)=const=C.

Прикладом ізоліній є паралелі та меридіани.

Приклади.

1. Побудуємо лінії однакового рівня функції . При C=0 маємо тобто x²+y²=10² (коло з радіусом r=10, рис.6.2).

При C=6 отримуємо тобто x²+y²=8² . Отже лінією рівня, яка відповідає константі C=6, є коло з радіусом r = 8.

При C=8 отримуємо ізолінію (неявну функцію y від x) x²+y²=6².

y

6 8 10 x

Рис. 6.2.

2. Для випуску продукції Q використовують ресурси x₁ та x₂. Виробнича функція має вигляд Q=10x₁+20x₂ (ресурси повністю взаємозамінні, наприклад, цвяхи та шурупи).

Зобразити ізолінії для Q=Q(x₁,x₂) (лінії однакової кількості (quantity) продукції, ізокванти ).

Очевидно, що при C=60 ізолінія (ізокванта) – це відрізок прямої 10x₁+20x₂=60, а при C=40 – відрізок прямої 10x₁+20x₂=40 (рис. 6.3).

(Ресурс x₁)

4 Q=60

3

2 Q=40

1

1 2 3 4 5 6 (Ресурс x₂)

Рис. 6.3.

3. Виробнича функція має вигляд Q=min{10x_1,20x₂} (ресурси повністю взаємодоповнюючі, наприклад, калійні та азотні добрива).

Тоді в точках (x₁=2, x₂=1), (x₁=4, x₂=1), (x₁=2, x₂=3) значення Q=40. У точках (x₁=4; x₂=2) та (x₁=4; x₂=4) випуск набуває значення Q=80. На рис. 6.4 зображені лінії однакового рівня (ізокванти) для кількості продукції Q.

(Ресурс x₁)

5

4

3

2 Q=80

1 Q=40

1 2 3 4 5 (Ресурс x₂)

Рис. 6.4.

Зазначимо, що в другому та третьому прикладах зобразити функцію Q=Q(x₁,x₂) геометрично в тривимірному просторі дуже складно.