Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

1. .

Дріб є правильним. Розкладемо його на суму найпростіших дробів. Коренями знаменника є дійсні числа та , серед яких немає кратних. Тому чисельниками кожного дробу будуть числа . Отримаємо: . Помноживши обидві частини рівності на спільний знаменник, здобудемо:

, або .

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях в правій і лівій частинах, отримаємо систему рівнянь:

з якої знайдемо .

Отже, розкладання раціонального дробу на найпростіші має вигляд:

.

Невідомі і можна визначити інакше. Після того, як позбулися знаменника, змінній можна надати стільки часткових значень, скільки коефіцієнтів треба визначити (в даному випадку – два значення). Особливо зручно надавати ті значення, які є дійсними коренями знаменника. Застосуємо цей прийом до нашого дробу. Після звільнення від знаменника отримали вираз .

При : , звідки .

При : , звідки , .

В результаті отримали ті самі значення і , що й при першому способі визначення коефіцієнтів.

Таким чином,

Зауваження. Якщо корені знаменника – числа тільки дійсні та різні, спосіб часткових значень є найзручнішим. В інших випадках поєднують обидва способи.

Інтегрування функцій, раціонально залежних від тригонометричних

Домовимось позначати - раціональну функцію, залежну від , якщо вона утворена з цих тригонометричних функцій та сталих за допомогою раціональних алгебраїчних дій.

1) Інтеграли виду приводяться до інтегралів від раціональної функції нового аргументу підстановкою

, яка називається універсальною.

При цьому використовуються формули:

, , , .

Варто помітити, що недоліком цієї підстановки є той факт, що її використання в багатьох випадках зводить вихідний інтеграл до інтегралу від раціонального дробу з великими степенями. Тому в багатьох випадках користуються іншими підстановками . Наведемо деякі з них:

а) , тобто підінтегральна функція непарна відносно . Використовується підстановка , тоді , ;

б) - підінтегральна функція непарна відносно .

Використовується підстановка , тоді , ;

в) , в якому підінтегральна функція парна відносно і одночасно, раціоналізується за допомогою підстановки . При цьому використовуються формули:

, , , ;

г) . Тут підінтегральна функція залежить раціональним образом тільки від . Слід застосовувати підстановку , тоді , .

2) Інтеграли виду обчислюються за допомогою таких підстановок:

а) якщо - ціле додатне непарне число: ;

б) якщо - ціле додатне непарне число: ;

в) якщо та - цілі додатні парні числа: використовуються формули пониження степеня

, ;

г) якщо та - цілі парні числа, але хоч одне з них від’ємне: ;

д) якщо та - цілі непарні числа і від’ємні: .

3) Інтеграли виду , , обчислюються за допомогою тригонометричних формул:

,

,

.