1. Рівняння вигляду .

Розв’язок цього рівняння отримується - кратним інтегруванням, тобто:

,

,

,

, де

.

2) Диференціальне рівняння , що явно не містить шукану функцію , за допомогою підстановки ; зводять до відповідного рівняння першого порядку . Розв’язок цього рівняння знаходять, виходячи з його типу, а потім, для отримання загального розв’язку початкового рівняння, .

3) Диференціальне рівняння вигляду , що явно не містить незалежну зміну , підстановкою зводять до диференціального рівняння першого порядку

Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Права частина рівняння не містить невідомої функції та її похідної , тому для отримання розв’язку тричі послідовно інтегруємо обидві його частини:

,

,

.

Отже, загальний розв’язок даного рівняння:

.

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Дане рівняння того же типу, що і попереднє, тому його розв’язок знаходимо аналогічно, тобто:

.

За методом інтегрування частинами, маємо

,

,

,

= .

Тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд:

,

або .

Ряди. Достатні ознаки збіжності для рядів з додатними членами. Використання ознак збіжності рядів з додатними членами.

Числовим рядом називають послідовність чисел , з’єднаних між собою знаками плюс (або мінус), тобто

. (57)

Числа називаються членами ряду, а – загальним членом ряду.

Частинною сумою ряду називають суму перших членів ряду.

Збіжним називають числовий ряд, для якого виконується умова

, (58)

а границю називають сумою ряду. Якщо умова (58) для ряду (57) не виконується, то такий ряд називають розбіжним.

Необхідною умовою збіжності ряду (57) є умова

. (59)

Якщо умова (59) не виконується, то такий ряд є розбіжним. Часто необхідна умова (59) виконується, але не виконується при цьому умова (58) і тоді ряд є розбіжним.

При перевірці виконання умови (58) виникають значні труднощі при обчисленні послідовності частинних сум . Існують достатні ознаки збіжності ряду (57), за допомогою яких значно простіше дослідити збіжність ряду.

Для знакододатних числових рядів зупинимось на таких ознаках збіжності:

1) Ознака Даламбера. Якщо для знакододатного ряду (57) існує границя відношення наступного члена до попереднього при необмеженому зростанні номера , тобто

, (60)

то при ряд збіжний, а при ряд розбіжний. При необхідно застосувати іншу ознаку.

2) Радикальна ознака Коші. Якщо для знакододатного ряду (57) існує границя виду

(61)

то при ряд збіжний, а при ряд розбіжний. При необхідно застосувати іншу ознаку.

3) Ознака порівняння рядів. Якщо один з двох знакододатних рядів , збіжний (розбіжний) і виконується умова

,

то збіжним (розбіжним) є і другий ряд.

Приклад. Дослідити збіжність рядів:

а) б) .

Розв’язання. а) Застосуємо ознаку Даламбера. Для цього запишемо

,

і знайдемо границю за формулою (60). Одержимо

Ряд збіжний.

б) Застосуємо радикальну ознаку Коші. Обчислимо границю виду (61). Одержимо:

.

Ряд розбіжний.