Ряди Тейлора і Маклорена.
Якщо
функція
є сумою степеневого ряду
(66)
то
такий ряд називають рядом Тейлора, а
вираз (66) називають розвиненням функції
у степеневий ряд. Якщо у виразі (66)
,
то такий ряд має вигляд
(67)
і
називається рядом Маклорена для функції
.
Розлянемо приклади розвинення у степеневі ряди деяких елементарних функцій.
Розвинути
у степеневий ряд функцію
.
Знайдемо похідні даної
функції:
При одержимо
.
Одержані значення підставимо у ряд Маклорена (67). Одержимо розвинення функції у степеневий ряд
. (68)
Аналогічно можна знайти розвинення інших функцій у степеневі ряди. Так
,
,
.
(69)
Ряд
(69) називають біноміальним рядом. Цей
ряд збігається при
.
Степеневі ряди мають широке застосування в точних та наближених обчисленнях функцій, інтегралів, наближеному розв’язуванні диференціальних рівнянь та інших випадках.
Приклад.
Розкласти в степеневий ряд функцію
і знайти його радіус збіжності.
Розв’язання.
Позначимо
і для функції
в силу формули (68) запишемо ряд
. (70)
При
підстановці замість
його значення (
)
ряд (70) матиме вигляд
.
За
формулою (65) знайдемо радіус збіжності
одержаного ряду. Враховуючи, що коефіцієнти
,
тоді
,
.
Ряд
збіжний на всій числовій осі
.
Приклад.
Розкладаючи підінтегральну функцію в
ряд обчислити з точністю до
визначений інтеграл
.
Розв’язання.
Підінтегральну функцію
розвинемо у біноміальний ряд, використовуючи
формулу (69), яку перепишемо у вигляді
.
Позначимо
,
і одержимо таке розвинення для функції:
Підставимо розвинення функції під знак інтеграла і після інтегрування обчислимо його наближено, взявши стільки членів, щоб решта ряду була меншою від . Щоб не одержати похибки від округлення, будемо брати чотири знаки після коми.
Відповідь.
.
Застосування рядів для наближених обчислень.
Степеневі ряди мають широке застосування в точних та наближених обчисленнях функцій, інтегралів, наближеному розв’язуванні диференціальних рівнянь та інших випадках.
З допомогою
знайдених рядів можна знаходити значення
функцій
для
всіх значень аргумента з будь-яким
ступенем точності. Так, із розкладу
(5.3) отримуємо при
вираз
для числа
:
Розклад (5.4) дозволяє,
наприклад, виразити
так
.
За наближене
значення
можна
взяти
Абсолютна похибка цієї наближеної рівності оцінюється на основі теореми Лейбніца.
Оскільки при
обчисленні
ми
відкинули залишок ряду, починаючи з
третього члена
то
абсолютна похибка
звідки
З допомогою
розкладів функцій
і
в
степеневі ряди були складені таблиці
значень тригонометричних функцій.
Природно, що особливості розкладуваної
функції відбиваються і на властивостях
її ряду. Так, відомо, що функція
непарна,
а функція
парна.
Відповідно отримуємо, що ряд для
складається
лише з непарних степенів
,
а ряд, для
лише
з парних степенів.
Відмітимо, що прийом, яким ми користувались, а саме – формальний розклад і дослідження збіжності за допомогою залишкового члена, в багатьох випадках розкладів елементарних функцій викликає затруднення. Це пояснюється тим, що оцінка залишкового члена, взагалі кажучи, дуже складна. Тому часто користуються іншими методами.
Приклад. Розкласти в степеневий ряд функцію і знайти його радіус збіжності.
Розв’язання. Позначимо і для функції в силу формули (68) запишемо ряд
. (70)
При підстановці замість його значення ( ) ряд (70) матиме вигляд
.
За формулою (65) знайдемо радіус збіжності одержаного ряду. Враховуючи, що коефіцієнти , тоді
,
.
Ряд збіжний на всій числовій осі .
Приклад. Розкладаючи підінтегральну функцію в ряд обчислити з точністю до визначений інтеграл
.
Розв’язання. Підінтегральну функцію розвинемо у біноміальний ряд, використовуючи формулу (69), яку перепишемо у вигляді
.
Позначимо , і одержимо таке розвинення для функції:
Підставимо розвинення функції під знак інтеграла і після інтегрування обчислимо його наближено, взявши стільки членів, щоб решта ряду була меншою від . Щоб не одержати похибки від округлення, будемо брати чотири знаки після коми.
Відповідь. .