10. Напряженное состояние в точке тела

Для изучения напряженного состояния в какой-либо точке деформируемого тела выделим в ее окрестностях находящийся в равновесии бесконечно малый параллелипипед, ребра которого ориентированы по координатным осям. Напряжения на соответствующих его гранях могут рассматриваться как напряжения в исследуемой точке.

Эти шесть составляющих напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках позволяют определить напряжения на любой площадке, проходящей через данную точку. Совокупность этих величин, образующих симметричную матрицу, определяет тензор напряжений. Эти шесть скалярных величин называются компонентами тензора. Каждый столбец тензора напряжений в прямоугольной системе координат x, y, z определяют его компоненты, параллельные соответствующей оси. При этом нормальные напряжения считаются положительными, если они вызывают растяжение, и отрицательными – сжатие. Знак касательного напряжения принимается положительным, если напряжение совпадает с положительным направлением оси координат при условии, что внешняя нормаль к этой плоскости также совпадает с положительным направлением оси. Если внешняя нормаль совпадает с отрицательным направлением оси координат, касательное напряжение принимается положительным при условии, что оно совпадает с отрицательным положением оси. Рисунок дает представление о знаке напряжений по соответствующим координатным осям.

Тензор – математическая величина, сост. из определенного числа компонентов.

11, 12 Анализ, Схемы главных напряжений и деформаций в различных процессах омд.

Н апряженное состояние характеризуется схемой главных напряжений, действующих в элементарно малом объеме, выделенном в деформируемом теле. Главными называют нормальные напряжения, действующие в трех взаимноперпендикулярных площадках, на которых касательные напряжения равны нулю. Всего имеется девять схем главных напряжений: четыре объемные, три плоские и две линейные. При обработке металлов давлением встречаются две объемные схемы напряженного состояния: 1) объемное трехосное сжатие металла, когда по всем трем осям действуют главные напряжения сжатия. Эта схема наблюдается при свободной ковке, объемной штамповке, прокатке, прессовании. 2) объемное напряженное состояние металла, когда по двум осям действуют главные напряжения сжатия, а по третьей – главное напряжение растяжения. Эта схема наблюдается при волочении и в некоторых случаях листовой штамповки. Схема главных напряжений позволяет судить о пластичности металла. Чем большую роль играют напряжения сжатия, тем выше пластичность металла в процессе его обработки. Поэтому, например, пластичность металла при прессовании выше, чем при волочении. Повысить сжимающие напряжения при обработке давлением можно, например, оказывая боковое давление на металл жесткими стенками инструмента. Деформированное состояние в элементарно малом объеме металла характеризуется схемой главных деформаций. Главными называются деформации в направлении трех осей, перпендикулярных к площадкам, в которых касательные напряжения отсутствуют. При обработке давлением различают три схемы главных деформаций: 1) по двум осям – главные деформации сжатия, по третьей – главная деформация растяжения. Эта схема наблюдается при волочении и прессованию. 2) по одной оси – главная деформация сжатия, а по двум другим – главные деформации растяжения. Эта схема наблюдается при прокатке узкой полосы на гладкой бочке, при прокатке в калибрах, при свободной ковке и объемной штамповке. 3) по одной оси – главная деформация сжатия, по второй – главная деформация растяжения, а по третьей деформации не происходит. Эта схема наблюдается при прокатке широкой полосы на гладких валках, в некоторых случаях листовой штамповки. Схема главных деформаций дает представление о характере формирования волокна и зерен. Максимальная главная деформация определяет текстуру деформации, предопределяет физико-механические свойства металла при обработке давлением.

Вопрос № 13: Диаграмма напряжений при растяжении (сжатии).

Рассмотрим диаграмму растяжения, которая показывает зависимость между растягивающей силой P, действующей на образец, и вызываемой ею деформацией Δl (рис.1).

На диаграмме можно указать пять характерных точек:

Прямолинейный участок диаграммы ОА указывает на пропорциональность между нагрузкой Р и удлинением Δl. Вличина силы Р_пц (точка А), зависит от размеров образца и физических свойств материала. Если испытуемый образец нагрузить растягивающей силой, не превышающей величину ординаты точки B (силы P_y ), а потом разгрузить то в случае в образце возникают только упругие деформации. В случае, если растягивающее усилие выше P_y, при разгрузке образца деформации полностью не исчезают и на диаграмме линия разгрузки будет представлять собой прямую B'О', уже не совпадающую с линией нагружения, а параллельную ей. В этом случае деформация образца состоит из упругой Δl_упр^B' и остаточной (пластической) Δl_ост^B' деформации. Таким образом, характерной особенностью точки B является то, что при превышении нагрузки P_y образец испытывает остаточные деформации при разгружении. Выше точки В диаграмма растяжения значительно отходит от прямой (деформация начинает расти быстрее нагрузки, и диаграмма имеет криволинейный вид), а при нагрузке, соответствующей Р_т (точка С), переходит в горизонтальный участок. В этой стадии испытания в материале образца по всему его объему распространяются пластические деформации. Образец получает значительное остаточное удлинение практически без увеличения нагрузки. Свойство материала деформироваться при практически постоянной нагрузке называется текучестью. Удлинившись на некоторую величину при постоянном значении силы, т.е. претерпев состояние текучести, материал снова приобретает способность сопротивляться растяжению (упрочняться), и диаграмма поднимается вверх, хотя гораздо более полого, чем раньше. В точке D усилие достигает максимального значения P_max.Наличие участка упрочнения (от конца площадки текучести до наивысшей точки диаграммы растяжения) объясняется микроструктурными изменениями материала: когда нагрузка на образец возрастает, микроскопические дефекты (линейные и точечные) группируются так, что развитие сдвигов кристаллов, вызванных касательными напряжениями, затрудняется, а потому сопротивление материала сдвигу начинает возрастать и приближаться к его сопротивлению отрыву. При достижении усилия P_max на образце появляется резкое местное сужение, так называемая шейка, быстрое уменьшение площади сечения которой вызывает падение нагрузки, и в момент, соответствующий точке К диаграммы, происходит разрыв образца по наименьшему сечению шейки.

Вопрос № 14: Условия пластичности

Пластичность – способность материала сохранять полностью или частично деформацию после устранения сил, ее вызывавших.При линейном напряженном состоянии, напр. при растяжении образца, пластическая деформация начинается тогда, когда нормальное напряжение достигнет предела текучести, т.е. сигма 1 = сигма т.(1 условие). В процессе деформации сигма т изменяется. Треска (1864 г.) установил, что для начала пластической деформации максимальное касательное напряжение должно достигнуть определенной постоянной для данного металла величины. Сен-Венан на основании опытов Треска предложил условие пластичности, состоящее в том, что тело тогда начинает деформироваться пластически, когда максимальное касательное напряжение достигнет некоторого определенного значения независимо от схемы напряженного состояния.Теория пластичности Сен-Венана может быть сформулирована так, пластическая деформация наступит тогда, когда максимальная разность главных нормальных напряжений достигнет величины сопротивления деформации. Сигма 1 – сигма 3 = сигма т (2 условие) Согласно условию постоянства максимального касательного напряжения, переход тела из упругого состояния в пластичное, определяется только разностью максимального (сигма 1) и минимального (сигма 3) напряжений и не зависит от величины среднего напряжения (сигма 2). Позже Г. Генки предложил новое условие пластичности, имеющее несколько формулировок. - пластическая деформация наступит тогда, когда интенсивность напряжений достигает величины, равной пределу текучести (сопротивлению деформации) при линейном напряженном состоянии. (сигма 1 – сигма 2)^2 + (сигма 2 – сигма 3)^2 + (сигма 3 – сигма 1)^2 = 2 (сигма т)^2 и называют условием пластичности или уравнением Губера – Мизеса – Генки (3 условие) Это условие пластичности учитывает влияние среднего главного напряжения сигма 2 на условие перехода упругой деформации в пластическую.