9. Случайные погрешности и способы их описания. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Случайной погрешностью измерения ∆ называется составляющая погрешности, изменяющаяся случайным обрезом при повторных измерениях одной и той же величины. Основными причинами, их вызывающими, являются:

1) наличие случайных погрешностей у применяемых приборов;

2) несоответствие между моделью объекта измерения и самим реальным объектом;

3) колебания неинформативных параметров процесса измерения;

4) ограниченные возможности чувств экспериментатора.

Случайные погрешности, подчиняющиеся статистическим вероятностным закономерностям, проявляются в том, что повторные измерения одной и той же величины в одних и тех же условиях приводят к результатам, отличают и меч один от другого.

Основной характеристикой ∆ служит закон, устанавливающий соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления. Поскольку ∆ является непрерывной случайной величиной, укатанная характеристика называется плотностью распределения (плотностью вероятностей) ρ(∆). Геометрически ρ(∆) изображается кривой, форма которой зависит от характера распределения (рис. 4.2.1). Значение функции ρ(∆) позволяет, в частности, оценить вероятность попадания погрешности ∆ в заданное поле допусков (на рис. 4.2.1 — заштрихованная плошадь)

ρ(∆н<∆<∆в)=

где ∆н и ∆в - нижняя и верхняя (границы поля допусков ∆)

В практике измерении встречаются различные законы распределения ∆, однако наибольшее значение имеет нормальный закон распределения ρ(∆) (закон Гаусса). Объясняется это тем, что часто ∆ представляет собой сумму большого числа независимых и слабо зависимых случайных величин. По центральной предельной теореме такая сумма погрешностей имеет нормальный закон распределения, хотя законы распределения отдельных слагаемых могут отличаться от нормальных. Закон распределения суммы тем ближе к нормальному, чем больше число слагаемых и чем равномернее их вклад.

Формула, определяющая плотность вероятностей ∆ распределенной по нормальному закону, имеет вид: ρ(∆)=(1/ σ)exp[ , (4.2.1)

где M(∆)= - математическое ожидание ∆ определяющее ее среднее значение — дисперсия ∆ характеризующая степени разброса ∆относительно среднего значения.

Из анализа формулы (4.2.1) видно, что кривая Гаусса симметрична относительно М а максимальная ρ(∆)=1/ ) (рис. 4.2.2); причем с увеличением σ увеличивается вероятность малых и уменьшается вероятность больших случайных погрешностей (рис. 4.2.3).

Одним из важнейших вопросов при рассмотрении случайных погрешностей является вопрос о количественной оценке степени доверия к результатам измерения. Для этого критерий, выражающий количественно оценку степени доверия, должен удовлетворять ряду требований:

1) должна иметься возможность выражения меры степени достоверности результата измерения в виде числа;

2) способы определения числового значения должны быть установлены так, чтобы при одинаковых условиях количественная оценка степени достоверности не зависела от субъективных особенностей оператора, а отражала объективную ситуацию;

3) критерий должен соответствовать интуитивному, основанному на опыте представлению о достоверности;

4) критерий должен обеспечивать возможность его практического применения.

Таким требованиям удовлетворяют принятые для оценки степени достоверности понятия доверительного интервала и доверительной вероятности. Доверительная вероятность - это вероятность того, что истинное значение измеряемой величины х_и находится внутри доверительного интервала с границами Δ₁ и Δ₂:

Pд=P[x-Δ₂≤x_и≤x+Δ₁] . (4.1)

Доверительный интервал - интервал, накрывающий с заданной доверительной вероятностью истинное значение измеряемой величины.

Оценить точность результата измерения - это найти доверительный интервал при заданной доверительной вероятности либо решить обратную задачу - найти доверительную вероятность при заданном доверительном интервале.