13. Плотность распределения результатов наблюдений. Точечные оценки результатов измерений: математическое ожидание, дисперсия оценки математического ожидания.

Наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей:

f(x) = dF_X(x)/dx  (5)

Физический смысл f(x) состоит в том, что произведение f(x)dx представляет вероятность попадания случайной величины Х в интервал от х до х + dx , т.е.

f(x)dx = P(x ≤ X ≤ x+dx)  (6)

Свойства плотности распределения вероятности:

    — вероятность достоверного события равна 1;

иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице;

    — вероятность попадания случайной величины в интервал от x₁ до x₂.

Со статистических позиций можно дать следующее определение составляющих погрешности:

1. Систематическая погрешность – это отклонение математического ожидания результатов наблюдения от истинного значения измеряемой величины.

.

2. Случайная погрешность – это разность между результатом единичного наблюдения и мат. ожиданием результата.

.

Математическое ожидание погрешности равно математическому ожиданию систематических составляющих погрешности, т.к. мат. ожидание случайной погрешности всегда равно 0.

Дисперсия – характеристика рассеяния результатов наблюдений относительно мат.ожидания. Дисперсия увеличивается с увеличением рассеяния результатов наблюдения. В качестве характеристики рассеяния используется среднее квадратическое отклонение (положительное значение квадратного корня дисперсии):

Математическое ожидание (истинное) μ для непрерывной случайной величины задается интегралом

Оно представляет собой тот предел, к которому стремится среднее при неограниченном увеличении объема выборки. Таким образом, математическое ожидание является как бы средним значением для генеральной совокупности в целом, почему и называется иногда генеральным средним. При отсутствии систематических погрешностей математическое ожидание μ равно истинному значению х_ИСТ.

Дисперсия σ² характеризует рассеяние случайной величины относительно μ и определяется как математическое ожидание квадратов отклонений х от μ:

Положительное значение корня квадратного из дисперсии σ называют стандартным отклонением и также используют для характеристики рассеяния случайной величины х в генеральной совокупности относительно μ.

Графическое изображение нормального распределения случайной величины х показано на рис. 1.4. Вид колоколообразных кривых, симметричных относительно вертикальной линии проходящей через μ, зависит от величины дисперсии и, следовательно, от стандартного отклонения. Чем больше стандартное отклонение, тем более пологой становится кривая.

Рис. 1.4. Кривые нормального распределения с параметрами μ=0, σ₁=1, σ₂=2, σ₃=3.

14. Оценки дисперсии измерений при априори известном и неизвестном значении математического ожидания. Несмещенная оценка дисперсии.

2.3. Доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании

Пусть  – выборка наблюдений из нормальной генеральной совокупности. Найдем доверительный интервал для дисперсии  нормально распределенного признака Х с известным математическим ожиданием . Поскольку значение математического ожидания известно, то в качестве оценки величины  возьмем точечную оценку дисперсии , которую будем рассматривать как случайную величину, зависящую от случайной выборки. Тогда величина  является суммой квадратов значений . Эти величины имеют стандартное нормальное распределение с параметрами (0,1), а сумма  имеет  (хи-квадрат) распределение Пирсона с  степенями свободы. Плотность случайной величины, распределенной по закону , имеет вид , где  – число степеней свободы. Пользуясь плотностью -распределения найдем интервал, в который значения  попадают с надежностью . Обозначим этот интервал . Поскольку распределение  не является симметричным, то чтобы получить симметричный относительно параметра интервал, значения  и  выберем так, чтобы вероятности попадания значений  левее  и правее  были одинаково равными . Тогда . Числа  и  можно отыскать по специальной таблице критических точек распределения , исходя из того, что , . После того, как числа  и  выбраны, возможно определить доверительный интервал для дисперсии . Так как , то неравенство  преобразуется к неравенству  или, в эквивалентном виде, . Это двойное неравенство означает, что доверительным интервалом для  с надежностью  является промежуток .

2.4. Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании

Найдем доверительный интервал для дисперсии  нормально распределенного признака Х с неизвестным математическим ожиданием.  При выводе интервальной оценки, в случае известного математического ожидания, мы пользовались величиной . Теперь это значение использовать нельзя, поэтому в качестве несмещенной оценки дисперсии будем использовать исправленную выборочную дисперсию .  Случайная величина   имеет распределение Пирсона   с   степенями свободы.  Выберем близкую к единице вероятность  и найдем интервал, в который попадает неизвестный параметр с надежностью . Для этого повторим рассуждения разд. 2.3 и получим, что оцениваемое значение дисперсии  с надежностью  покрывается доверительным интервалом .

Несмещённая оце́нка в математической статистике — это точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру.

• Пусть независимые случайные величины имеют конечную дисперсию . Построим оценки

— выборочная дисперсия,

И — исправленная выборочная дисперсия.