2 Вопрос. Ограниченность множества. Точная верхняя и точная нижняя грани множества. Свойство точных граней.

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число с , при котором для любого х принадлежит Х выполняется неравенство х<=c (x>=c). Число с тогда наз-ся верхней (нижней) гранью множества Х.

Множества, ограниченные снизу и сверху, называются ограниченными. Любой конечны промежуток ограничен.

Пусть с= max{|a|,|b|}, тогда DEF можно записать в виде

Интервалы (а, +бесконечность) и (-бесконечность, b) представляют собой множества, ограниченные соответственно снизу (сверху), но не ограниченные сверху (снизу). Вся числовая прямая не ограничена ни снизу, ни сверху.

Множество Х называется нерграниченным если

Множество Х называется неограниченным снизу (сверху), если

(—oo,+oo)- множество, неограниченное ни сверху, ни снизу,

Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечное число верхних (нижних) граней. Действительно, если число с является верхней гранью множества Х, то и любое число с1>с, согласно определению верхней грани,так же будет верхней гранью этого множества.

Поэтому возникает вопрос о существовании наименьшей из верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей из нижних граней ограниченного снизу множества,

Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества Х называется точной верхней гранью множества Х и обозначается sup X.

Наибольшая из нижних граней ограниченного снизу множества Х называется точной нижней граньто этого, множества и обозначается inf Х .

Свойство точной верхней грани.

1) Пусть х ограниченное сверху множество и supХ точная верхняя грань.

Как бы ни было мало число (эпсило) > 0, найдется элемент х их множества Х такое, что X>sup X..

Действительно, если бы такое число Х не существовало, то тогда Sup Х- было бы точной верхней гранью множества X, а число Sup Х не являлось бы точной верхней гранью множества Х, что противоречит условию. Таким образом, число SupX является наименьшим из чисел, ограничивающих множество Х сверху, и не может быть уменьшено. Следовательно, точная верхняя грань единственная.

2) Пусть х ограниченное снизу множество и infX ТОЧНАЯ НИЖНЯЯ ГРАНЬ.

Как бы ни было мало число (эпсило) > 0, найдется элемент х их множества Х такое, что

X< infX. Таким образом, число infX является наибольшим из чисел, ограничивающих множество Х снизу, и не может быть увеличено. Следовательно, точная нижняя грань единственная.

Вопрос 3 Теорема о существовании точных граней.

Теорема. Любое непустое, ограниченное сверху, числовое множество имеет точную верхнюю грань. Доказательство.

Пусть Х непустое множество, ограниченное сверху. Тогда Y-множество чисел, ограниченное сверху. Тогда существует непустое множество Y чисел, ограничивающих множество Х. Из определения верхней грани следует, что для любого х принадлежащего Х и любого у принадлежащего Y имеет место неравенство х<=у. В силу свойства непрерывности вещественных чисел существует такое с, что для любых Х и у выполняются неравенства х<=c<=y. - Из первого неравенства следует, что число с является верхней гранью множества Х . Из второго неравенства следует, что число С является наименьшим из таких чисел, т.е. является точной верхней гранью. Теорема доказана. Аналогичная теорема для нижней грани.