58 Вопрос. Формула Тейлора.

59 Вопрос. Первое достаточной условие экстремума.

Теорема Пусть функция f(х) дифференцируема в некоторой дельта -окрестности точки и пусть стационарная точка. Тогда, если f'(х)>0 (f’(х)<0) -для всех х принадлежит (хо-дельта; ) и f’'(x) < 0(f’'(х)>0) для всех хпринадледит( , +дельта), то в точке функция f(х) имеет локальный максимум (минимум), если же f'(х) во всей дельта -окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке Локального экстремума нет-Другими словами, если f '(х) при переходе через точку меняет знак с «+», на «—« •то - точка локального максимума, если f'(x) в точке меняет знак с «-» на»+»,то , - точка локального минимума, если же f'(с) в точке знака не меняет, то в точке экстремума нет.

Доказательство Пусть f'(x) при переходе через точку меняет знак с «+».на «-« и пусть х принадлежит ( -дельта; ). Применим формулу Лагранжа к- функции f(x) на отрезке [х, ]. Получаем Так как f'(x) >0 на ( -; ), то f’(c) > 0, и, кроме того -х>0, следовательно, (I) Рассмотрим теперь случай, когда х принадлежит ( ; +дельта). Применим .формулу Лагранжа к функции f(x) на отрезке [ , х]. Получаем f Так как / И, кроме того, —Х < 0, следовательно,

(2) Из неравенств (1) и (2) следует, что в рассматриваемой окрестности точки выполняется неравенство f(х) < f( ) при x не равно0, а это означает, что в точке функция, f(x) имеет локальный максимум.

Аналогично рассматривается случай перемены знака f'(x) с «-« на »+»-

Осталось рассмотреть случай, когда f'(х) знака не меняет. Пусть f'(x) > 0 в некоторой окрестности ; тогда по. теореме о монотонности функции функция f(х) возрастает на ( т.е. для любых х< выполняетая-неравенство f(х) <f(хо), а для любых x> f(x)-> f( ). Это означает, что точка не является точкой локального экстремума. Теорема остается справедливой, если функция f(x) в самой точке не дифференцируема, а только непрерывна.

60 Вопрос. Второе достаточное условие экстремума

Теорема. Пусть функция имеет в данной стационарной точке с конечную вторую производную. Тогда функция f(x) имеет в точке С локальный максимум, если f’’(c) < 0 и локальный минимум, если f’’(c)>0. Доказательство.

Доказательство проведем для точки максимума. Рассмотрим функцию f'(x). Так как с стационарная точка; то

F’(c)=0. Так как f’’(с)<0, т.е; (f'(с))’< 0, то из достаточного условия возрастания и убывания функции в точке следует, что f'(x) убывает в точке С. Следовательно, график функции f'(x) имеет вид.

Тогда существует такая окрестность точки С в пределах которой f'(x)> 0 слева от точки с и f'(х) <0

справа от точки с. Но тогда выполняется первое достаточное условие экстремума, и функция f(х) имеет в точке С локальный максимум, аналогичное доказательств о для точки минимума- Теорема доказана.

61 Вопрос. Экстремум функции не дифференцируемой в данной точке.

62 Вопрос. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.

Пусть функция у=f(х) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда существует касательная к графику функции у = f(x) в любой точке M(x,f(x)) этого графика [а<х<b), причем касательная не параллельна оси OY, поскольку ее угловой коэффициент, равный f'(x),. конечен.

Будем говорить, что график функции у = f(x) имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a,b)..

Теорема., Если функция y= f(х) имеет на интервале (а,b) вторую производную и во всех точках (а, b), то график функции у= f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Доказательство.

Доказательство проведем для случая . Случай доказывается аналогично.

Пусть произвольная точка из (a, b). Покажем, что график функции у = f(x) лежит не ниже касательной, проходящей через точку М( ,f( )). Уравнение касательной имеет вид где Y - текущая ордината касательной. Разложим функцию у = f(х) в ряд Тейлора для п = 1. Получим Вычитая полученные равенства, имеем Так как no-условию теоремы, то

А это означает, что всюду на (a,b) график функции лежит не .Ниже касательной, проведенной через точку Аналогично доказывается теорема для случая