Вопрос 7 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Определения, свойства, связь между ними.

DEF. Последовательность { } называется бесконечно большой если для пюбого положительного чиспа А (сколь бы большим мы его ни взяли) существует номер N такой, что для всех n>N выполняется неравенство то есть

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой, неравенство | |> А выполняется не для всех элементов с нечётными номерами,

DEF. Последовательность { } называется бесконечно малой, если для любого положительного числа эпсило .(сколь бы малым Мы ни взяли это число) существует номер N такой, что при всех п > N выполняется неравенство | |<епсило , то есть

Теорема о связи Бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей

Если { } бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от 0, то последовательность {1\ } бесконечно малая и обратно, если все элементы бесконечно малой последовательности{ } отличны от 0, то последовательность {1| } бесконечно большая.

Доказательство

Пусть { } бесконечно большая последовательность. Возьмём любое эпило>0 и положим А=1\эпсило. По определению бесконечно большой последовательности для А существует помер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство | | >А, отсюда Получаем, что

А это значит что последовательность {1\ } бесконечно малая. Аналогично вторая часть

8 Вопрос. Свойства бесконечно малых последовательностей:

1.теорема: Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Доказательство.

Пусть { } и { }-бесконечно малые последовательности. Докажем, что последовательность { } бесконечно малая. Пусть эпсило - произвольное положительное числ - номер, начиная с которого выполняется неравенство | | < эпсило/2, а - номер, начиная с которого выполняется неравенство | |< эпсило/2. . Такие номера и существуют по определению бесконечно малой последовательности. Возьмем N -= mах{ , , тогда при n>N будут одновременно выполняться оба неравенства | | < эпсило/2 и | |< эпсило/2

. Следовательно, при , откуда следует что последовательность { } бесконечно малая

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2.Теорема. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность, Доказательство. Пусть { } и { }-бесконечно малые последовательности. Докажем, что последовательность { * } бесконечно малая. Так как последовательность { } бесконечно малая, то для любого эпсило>0 существует номер , такой что | |<эпсило, для всех n> . А так как { } бесконечно малая последовательность, то для любого эпсило=1 существует номер , такой что | |< 1 -при всех n> . Возьмем N = mах{ , }, тогда при всех n>N будут выполняться оба неравенства одновременно. Следовательно при всех n>N /. Это означает что последовательность { * } бесконечно малая.

Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.