3.Теорема . Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть последователъность бесконечно малая,

Доказательство.

Пусть { } ограниченная последовательность, а { } –бесконечно малая последовательность.. Покажем, что последовательность { • } - бесконечно малая.

Так как последовательность { } ограничена, то существует число А > 0, такое, что для любого -злемента х„ выполняется неравенство | | <=А. Возьмём эпсило > 0, Так как { } бесконечно малая последовательность, то для положительного числа — эпсило/А .существует номер N, такой, что | l < эпсило/А.. Следовательно, при всех n>N имеем-

А это означает, что последовательность { • } - бесконечно малая

Следствие- Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовагельност

Замечание. Частное двух бесконечно малых последовательностей может не быть бесконечно малой последовательностью и Может даже не иметь смысла.

9 Вопрос. Сходящиеся последовательности.

Число а называется пределом последовательности { }, если для любого положительного числа эпсило существует такой номер N, такой что при всех n>N выполняется неравенство

Последовательность у которой существует предел называется сходящейся. Если последовательность сходится и имеет своим пределом число а, то это записывается так . Последовательность не являющаяся сходящейся является расходящейся.

Замечание 1, Пусть последовательность { } имеет своим пределом число а, тогда является бесконечно малой последовательностью, .т.к. для любого эпсило> 0 существует N, такой что для всех: n>N .выполняется, неравенство

Следовательно, любой член последовательности имеющий пределом число а можно представить в виде = а+ , где -элемент бесконечно малой последовательность. Справедливо и обратное.

Если =а+ , где { } бесконечно малая последовательность, то

Замечание 2. Неравенство | --а|< эпсило равносильно неравенствам

"- эпсило»< --а <эпсило или а-эпсило < < а+ эпсило .

Определение. Число а называется пределом последовательности { }, если для любой эпсило-окрестности точки а существует номер N, такой что все элементы , с номерами n>N находятся в этой эпсило-окрестности. Бесконечно большая последовательность предела не имеет, хотя иногда говорят что она имеет бесконечный предел , всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом 0.

10 Вопрос. Теорема о единстве предела сходящейся последовательности. Теорема . Сходящаяся последовательность, имеет только один предел.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что числа а и b являются пределами; сходящейся последовательности { } и а ≠ b, тогда по замечанию получим =а+ и = b+ , где ( и , - элементы бесконечно малых последовательностей { } и { }. Из последних двух равенств получим - = b-a Так как все элементы бесконечно малой последовательности- { - } равны одному и тому же числу b-a, то по лемме b—а=0„т.е. b=a, Теорема доказана.