11 Вопрос. Алгебраическая сумма, произведение, частное сходящихся последовательностей.

Теорема 1. Сумма(разность) сходящихся последовательностей { } и { } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательности { } и { }.

Доказательство. Пусть a,b — соответственно пределы последовательностей { } и { }. тогда любой предел последовательности можно представить в виде

= а + , = b + , где , - элементы бесконечно малых последовательностей соответственно { }, { }. Отсюда получаем

( +- ) - (a+-b)=( - a )+- ( - b) = +- .

{ +- } б.м.п — по св-ву бесконечно малых последовательностей.

То есть последовательность {( +- ) - (a+-b)} также бесконечно малая, откуда и следует, что число (a+-b) яв-ся пределом сходящейся последовательности

{ +- }.

Теорема 2. Произведение сходящихся последовательностей { } и { } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей { } и { }.

Доказательство. Пусть a,b – соответственно пределы последовательностей { } и { }.. Тогда, используя формулу и перемножая соответствующие члены указанных последовательностей , получаем

- ab = a + b + .

{a + b + } бесконечно малая последовательность — по св-ву бмп. А это значит, что { } cходится и имеет своим пределом ab.

Теорема 3. Частное 2 сходящихся последовательностей { } и { } при условии, что предел последовательности{ } отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей { } и { }. без док-ва.

12 Вопрос. Предельный переход в неравенства.

Предельный переход к неравенствам

Теорема о предельном переходе к неравенствам. Если элементы сходящейся последовательности { } начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству >=b ( <=b), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству a>=b (a<=b)

Доказательство: Предположим противное, что а<b Возьмем положительное число

эпсило=b-a, для него существует такой номер N, что при всех n>N выполняетсяя неравенство | -а|<эпсило=b-a, что в свою очередь равносильно двум неравенствам "–(b-a)< -а<b-a." Отсюда следует что <b, что противоречит условию теоремы. Т.е. неравенство а<b невозможно.

Следствие: Если все элементы сходящихся последовательностей { } и { }, начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству  ( <= ), то

Доказательство: Действительно, начиная с некоторого номера, элементы последовательности { - } неотрицательны, а потому согласно теореме о предельном переходе к неравенствам неотрицателен и ее предел: . Отсюда и получаем, что

Следствие2: Если все элементы сходящейся последовательности принадлежат [a,b], то предел этой последовательности равный с, будет тоже принадлежать этому отрезку Доказательство: пусть с- предел последовательность { }. Так как а≤ ≤b, a≤c≤b/

13 вопрос. Теорема о трех последовательностях.

Теорема о трех последовательностях. Если { }, { } и { }. – сходящиеся последовательности, причем ≤ ≤ для всех n, а последовательности { } и { имеют одинаковые предел а, тогда последовательность { } имеет тот же предел а.

Доказательство. Пусть эпсило- произвольное положительное число. По этому эпсило можно указать такой номер N1 для последовательности { }, что при n>N1 будет справедливо неравенство | -а|<эпсило, или а-эпсило< <а+эпсило.(1) По тому же числу эпсило для последовательности { } найдется такой номер N2, что | -а|<эпсило при всех n>N2, или а-эпсило< <а+эпсило. (2)Возьмем N номер N=max(N1, N2), тогда при n>N будут одновременно выполняться оба этих неравенства. Используя левое неравенство (1) и правое неравенство (2) оп условию теоремы получаем а-эпсило< ≤ ≤ <а+эпсило, при всех n>N выполняются неравенства а-эпсило< <a+эпсило, или | -а|<эпсило. Это неравенство означает, что число а- предел последовательности { }, что и требовалось доказать.