15. Анализ с помощью объективно обусловленных оценок.

Одно из эффективных средств экономико-математического анализа – использование объективно обусловленных оценок оптимального плана. Такого рода анализ базируется на свойствах двойственных оценок.

Конкретные экономические свойства:

1. Ценность ресурсов – оценки как мера дефицитности ресурсов.

2. Интервалы устойчивости – оценки как мера влияния ограничений на функционал;

3. Рентабельность производства - оценки как инструмент принятия решения по вводу новой продукции;

4. Расчетные нормы заменяемости ресурсов.

Ценность ресурсов: ООО показывают не только дефицитность ресурса, но и насколько они дефицитны. Например, дефицитный ресурс, полностью используемый в оптимальном плане имеет положительную оценку, в то время как недефицитный – не полностью используемый ресурс имеет нулевую оценку. Чем выше оценка тем острее дефицитность.

Интервалы устойчивости – это максимально возможный диапазон изменения свободных членов двойственной задачи, при котором объективно обусловленные оценки остаются неизменными. Определение интервалов устойчивости относится к методам исследования называемой анализом модели на чувствительность. Он необходим, например, в случаях, когда некоторые характеристики исследуемой системы не поддаются точной оценке.

Если у нас целевая функция двойственной задачи выражается как , то изменение b₁, b₂,…, b_m приведет к изменению оптимального значения целевой функции. Графический это будет соответствовать изменению наклона линии уровня. Изменяя b₁, b₂,…, b_m объективно обусловленные оценки останутся неизменными до тех пор, пока оптимальное решение не изменится. Геометрический это соответствует изменению угла решения вследствие изменения угла наклона линии уровня. Этот диапазон изменения b₁, b₂,…, b_m и есть интервалы устойчивости.

Изменения составят

Решая симплексным методом двойственную задачу, на последнем шаге выразим линейную функцию через неосновные переменные (если задача имеет конечный оптимум и система ограничений совместна). Сделав соответствующие преобразования, получим некий вид целевой функции. Из коэффициентов при неосновных переменных составляем систему ограничений. Очевидно, чтобы не перейти к новому базисному решению, знаки при коэффициентах должны оставаться неизменными, следовательно, неравенства в системе ограничений должны быть . Решая данную систему, находим интервалы устойчивости.

Рентабельность производства дополнительной продукции: допустим, в ходе решения некой задачи производства был получен оптимальный план производства продукции P₁, P₂, …, P_n . Объективно обусловленные оценки ресурсов были получены, решая двойственную задачу, либо по второй теореме двойственности – y₁, y₂,…, y_m.

Необходимо выяснить рентабельность производства продукции P_n+1, если затраты на производство единицы продукции составляют: a_1,n+1 – S₁, a_2,n+1 – S₂, …, a_m,n+1 – S_m, если рыночная стоимость этой продукции с₃.

Решение: Решение заново этой задачи с включением в условие дополнительной продукции потребует новых затрат. Но в этом необходимости нет, ибо у нас есть маргинальные оценки ресурсов. Сопоставим дополнительные затраты на ресурсы в расчете на единицу продукции P_n+1 с ценой ее реализации.

, если расход больше чем цена продукции естественно ее производство будет не рентабельным. Если будет меньше или равно, то продукция рентабельна.

Объективно обусловленные оценки ресурсов позволяют судить об эффекте сравнительно небольших изменений ресурсов. При резких изменениях сами оценки могут стать другими, что приведет к невозможности их использования для анализа эффективности производства. Об этом говорится в анализе устойчивости.

Расчетные нормы заменяемости ресурсов. По соотношениям объективно обусловленных оценок могут быть определены расчетные нормы заменяемости ресурсов, при соблюдении которых проводимые замены в пределах устойчивости двойственных оценок не влияют на эффективность оптимального плана.

,

т.е равноценное изменение в пределах устойчивости значении объемов ресурсов не приведут к изменениям оптимальных значении целевых функций.