22. Условная и безусловная оптимизация. Теорема Вейерштрасса.

Безусловный экстремум.

Локальный экстремум: Если существует такая окрестность точки x₀ , (D – вся область определения функции), где определена и для , то x₀ называется точкой локального максимума (при – точкой локального минимума).

Глобальный экстремум: Если функция определена на D и вышеуказанная окрестность локального экстремума E = D, (т.е. вся область определения), то речь идет о глобальном экстремуме.

Условный экстремум.

Граница области D аналитически может быть задана системой уравнений (условий) относительно переменных х₁, х₂, ..., х_п. Поэтому, исследуя экстремальные свойства функции на границе, необходимо решить задачу определения условного экстремума.

Пусть необходимо найти экстремум функции z=f(х_1,х₂,...,х_n) при условии, что переменные х₁, х₂,..., х_п удовлетворяют, уравнениям – уравнения связи

Предполагается, что функции f и , имеют непрерывные частные производные по всем переменным. Определение условного экстремума совпадает с обычным экстремумом, только при условии, что область определения удовлетворяет уравнению связи.

Один из способов определения условного экстремума применяется в том случае, если из уравнений связи т переменных, например х₁, х₂,..., х_т, можно явно выразить через оставшиеся п-т переменных:

Подставив полученные выражения для х_i в функцию z, получим

Задача сведена к нахождению обычного экстремума для функции от п-т переменных. Если в точке полученная функция имеет экстремум, то в точке

функция z=f(х₁, х₂, ..., х_п) имеет условный экстремум.

Теорема Вейерштрасса гласит что, если D замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области.

Следовательно, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции z = f(X) в области D, нужно:

1) найти все стационарные точки внутри области D и вычислить значения функции в них;

2) исследовать функцию на границе области D;

3) сравнить значения функции, полученные в п. 1 и 2: наибольшее (наименьшее) из этих чисел и будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области.

23. Метод множителей Лагранжа. Экономический смысл.

Другой способ определения условного экстремума начинается с построения вспомогательной функции Лагранжа, которая в области допустимых решений достигает максимума для тех же значений переменных х₁, х₂,..., х_п, что и целевая функция z. Этот метод решения задач на условный экстремум заключается в сведении этих задач к задачам на безусловный экстремум.

Пусть решается задача определения условного экстремума функции z = f(X) при ограничениях – уравнения связи.

Составим функцию , которая называется функцией Лагранжа. – постоянные множители (множители Лагранжа).

6. Экономический смысл множителей Лагранжа:

Если f(х_1,х₂,...,х_n) — доход, соответствующий плану Х = (х₁, х₂,..., х_п), а функция — издержки i-го ресурса, соответствующие этому плану, то — цена (оценка) i-го ресурса, характеризующая изменение экстремального значения целевой функции в зависимости от изменения размера i-го ресурса (маргинальная оценка). L(X) — функция п+т переменных (х₁, х₂,..., х_п, ,…,). Определение стационарных точек этой функции приводит к решению системы уравнений:

Легко заметить, что , т.е. в систему входят уравнения связи. Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции z = f(X) сводится к нахождению локального экстремума функции L(X). Если стационарная точка найдена, то вопрос о существовании экстремума в простейших случаях решается на основании достаточных условий экстремума — исследования знака второго дифференциала d²L(X) в стационарной точке при условии, что переменные приращения Δх_i связаны соотношениями:

полученным путем дифференцирования уравнений связи.