Практикум 1

Задача 1.

Перевести числа 891, 123, 315 у наступні системи числення:

а) восьмеричну;

б) двійкову;

в) шістнадцяткову.

Задача 2.

За логічним виразом побудувати схему:

.

Задача 3.

Побудувати схему. Сигнал Х формується за умови рівнозначності першого та третього сигналів з трьох датчиків і відсутності другого одночасно.

Задача 4.

Скласти таблицю істинності для логічної функції формування сигналу на включення приводу стрілки при надходженні не менше двох вимог з пунктів 4, 5, 6. Побудувати схему.

1…6 – пункті адресування.

Задача 5.

Скласти таблицю істинності та записати логічний вираз.

Положення робочого механізму визначається сигналами з трьох датчиків. При рівнозначності сигналів перших двох датчиків механізм підіймається у тому випадку, якщо сигнал з третього датчика рівний «1». При нерівнозначності механізм опускається, якщо сигнал з третього датчика рівний «0».

В інших випадках привод механізму не включається.

Задача 6.

Побудувати схему.

Є чотири датчики у деякому технологічному процесі. У залежності від формованих ними сигналів робочий механізм займає крайнє ліве або крайнє праве положення. Крайнє ліве, якщо сума сигналів першого та третього датчиків рівнозначна сигналу з четвертого датчика. Крайнє праве, якщо сигнали з датчиків складають двійковий код чисел 5, 10, 12. В усіх інших випадках привод механізму відключений.

Задача 7.

Побудувати логічну схему з одним виходом.

1) ;

2) .

Задача 8.

Побудувати оптимальну логічну схему з двома виходами:

1) ;

.

2) ;

.

3) ;

.

Задача 9.

За логічною схемою записати логічну функцію.

Задача 10.

Скласти схему для порівняння двох дворозрядних двійкових чисел, яка формує «1» значення сигналу на виході при їх рівності.

Задача 11.

Скласти таблицю істинності та побудувати оптимальну схему.

Положення затвора може бути «закрито – відкрито» та визначено трьома датчиками (a, b, c). При рівнозначності другого та третього датчиків команда на відкриття затвору подається, якщо сигнал першого датчика рівний «0». При нерівнозначності другого та третього датчиків та значенні першого датчика «1», затвор закривається. В інших випадках привід відключений.

Задача 12.

Побудувати логічну функцію для порівняння двох трьохрозрядних двійкових чисел, яка формує «0» при їх рівності.

Задача 13.

Побудувати схему у базисі: а) І-НЕ; б) АБО-НЕ.

.

Задача 14.

Побудувати схему у базисі: а) І-НЕ; б) АБО-НЕ.

.

Задача 15.

Визначити, при яких наборах abc логічна функція приймає «1» значення.

.

Задача 16.

Визначити, при яких наборах abc логічна функція приймає «0» значення.

.

Задача 17.

1) Побудувати логічну схему на базі трьохвходового елемента АБО-НЕ.

.

2) Побудувати логічну схему на базі двовходового елемента І-НЕ.

.

Задача 18.

Побудувати логічну схему:

1) у базисі АБО-НЕ на два виходи;

2) у базисі І-НЕ на два виходи.

.

Задача 19.

Записати заперечення логічної функції у ДДНФ та ДКНФ.

§ 1.7. Застосування матриць Карно для зображення

та перетворення логічних функцій

Більш компактною формою представлення таблиці істинності є матриці Карно, які містять комірок, де п – кількість вхідних змінних.

Приклад.

Матриця Карно для трьох вхідних змінних (значення функції довільні).

a \ bc	00	01	11	10
0	0	1	1	0
1	1	0	0	0

Карта (матриця) Карно дозволяє записати логічний вираз у мінімізованому вигляд за рахунок об’єднання клітинок матриці за певними правилами, наведеними нижче.

При запису значень наборів змінних сусідні стовпці (строки) відрізняються значенням тільки однієї змінної. При оптимізації логічної функції записуються тільки ті змінні, які не міняють свого значення всередині вибраного об’єднання. Розглянемо оптимізація ЛФ на наступному прикладі:

далі,

У результаті, Х для «1» буде містити тільки змінні .

Правила для об’єднань значень функції:

1. Всі одиниці (для ДНФ) або нулі (для КНФ) повинні бути об’єднані у прямокутні контури. Об’єднання одиниць (нулів) не повинно мати всередині себе нулів (одиниць).

2. Однойменні контури можуть накладатись один на один або мати розрив. Не допускаються лишні контури.

3. Контур повинен об’єднувати клітин. Площа контуру повинна бути симетричною відносно власного центру.

4. Контури об’єднують тільки симетричні клітини.

5. Кожній одиничній (нульовій) клітині відповідає кон’юнкція (диз’юнкція) вхідних змінних, які визначають дану клітину.

6. Найбільш оптимальний логічний вираз виходить при утворенні найбільших контурів. При оптимізації у логічний вираз записуються тільки ті змінні, котрі не змінюють свого значення всередині обраного контуру. Якщо яка-небудь одиниця (нуль) не може бути об’єднана у контур, то для неї записується кон’юнкція (диз’юнкція) всіх змінних, які визначають дану клітину.

Логічні функції, значення яких одностайно визначено на всіх наборах змінних, називаються повністю заданими.

Логічні функції, значення яких визначено не на всіх наборах, називаються не повністю заданими. А такі набори є невизначеними.

Приклад не повністю заданої функції.

a \ bc	00	01	11	10
00	-	0	0	0
01	0	1	-	1
11	0	1	-	1
10	0	0	0	0

Невизначені умови у матриці можна об’єднати як з нулями, так і з одиницями, виходячи з того, наскільки це зручно при оптимізації задачі.

Приклад мінімізації логічних функцій за допомогою матриць Карно

Якщо об’єднувати клітини різними способами, можна здобути різні варіанти тупикових форм функції, що оптимізується. Записавши ДНФ та КНФ, можна визначити, яку з них простіше реалізувати на елементній базі.

На малюнках наведені різні приклади об’єднання комірок. У результаті можна получити наступні види оптимізованих функцій:

- 7 елементів.

- 8 елементів.

- 7 елементів.