9. Взаимное преобразование схем соединения треугольником и звездой пассивных элементов.

Преобразование "треугольника" в "звезду" (рис. 2.8)

Преобразование "звезды" в "треугольник" (рис. 2.8)

Рис. 2.8. – Соединение сопротивлений в "треугольник" и "звезду"

10. Расчет неразветвленных и разветвленных линейных электрических цепей с несколькими источниками энергии путем непосредственного применения законов кирхгофа.

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Этот метод можно применять для расчета любой электрической цепи.

Число ветвей обозначим m, а число узлов n. Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Поскольку в каждой ветви протекает свой ток, то число токов, которое следует определить, а следовательно, и число уравнений, которое нужно составить, равно m. По первому закону Кирхгофа составляем n-1 уравнений. Недостающие m-(n-1) уравнений следует составить по второму закону Кирхгофа для взаимно независимых контуров.

Рис. 2.20. Схема замещения сложной электрической цепи с несколькими источниками энергии: I, II, III – номера контуров

В качестве примера рассмотрим электрическую цепь, показанную на рис. 2.20. Она содержит пять ветвей и три узла, m = 5, n = 3. Составляем два уравнения по первому закону Кирхгофу, т. к. n – 1 = 2 (например, для узлов а и б).

Для узла "а"

- I₁ - I₂ + I₄ = 0.

Для узла "б"

I₁ + I₂ - I₃ - I₅ = 0.

Остальные m - (n - 1) = 3 уравнения составляем по второму закону Кирхгофа.

Для контура I

R₁·I₁ - R₂·I₂ = - E₁ + E₂.

Для контура II

R₂·I₂ + R₃·I₃ + R₄·I₄ = - E₂ - E₃.

Для контура III

- R₃·I₃ + R₅·I₅ = E₃.

Решив систему, состоящую из пяти уравнений, находим пять неизвестных токов. Если какие-либо значения токов оказались отрицательными, то это означает, что действительные направления этих токов противоположны первоначально выбранным.

При расчётах сложных цепей с использованием ЭВМ удобна матричная форма записи. Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, запишем в виде

- I₁ - I₂ + 0 + I₄ + 0 = 0

I₁ + I₂ - I₃ + 0 - I₅ = 0

R₁·I₁ - R₂·I₂ + 0 + 0 + 0 = - E₁ + E₂

0 + R₂·I₂ + R₃·I₃ + R₄·I₄ + 0 = - E₂ - E₃

0 + 0 + - R₃·I₃ + 0 + R₅·I₅ = E₃.

В матричной форме

или

[R]·[I] = [Е],

где [R] – квадратная (5 х 5) матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных токах в исходных уравнениях;

[I] – матрица - столбец неизвестных токов;

[E] – матрица - столбец, элементами которой могут быть алгебраическая сумма ЭДС.

Решение матричного уравнения ищут в виде

[I] = [R]^-1·[E],

где [R]^-1 – матрица, обратная матрице [R].

Рассмотренный метод расчета неудобен, если в цепи имеется большое количество узлов и контуров, поскольку потребуется решать громоздкую систему уравнений. В таких случаях рекомендуется применять метод контурных токов, позволяющий значительно сократить число расчетных уравнений.

Метод контурных токов

Рассматриваемый метод предполагает, что в каждом независимом контуре протекает свой контурный (расчетный) ток. Контурные токи – это не реальные токи, протекающие по ветвям электрической цепи, а искусственно вводимые величины. Количество контурных токов равно количеству независимых контуров в цепи.

Для определения контурных токов составляют уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого контура. Поскольку количество контуров меньше, чем ветвей, то число уравнений будет всегда меньше числа искомых реальных токов. Уменьшение числа решаемых уравнений и является достоинством метода контурных токов.

Рассмотрим данный метод для расчета электрической цепи, рис. 2.21.

Рис. 2.21. – Расчетная схема для метода контурных токов

В каждом из трех контуров протекает свой контурный ток J₁, J₂, J₃. Произвольно выбираем направление этих токов, например, по часовой стрелке. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого контура с учетом соседних контурных токов, протекающих по смежным ветвям

(R₁ + R₂)·J₁ - R₂·J₂ = E₂ - E₁

- R₂·J₁ + (R₂ + R₃ + R₄)·J₂ - R₃·J₃ = - E₂ - E₃

- R₃·J₂ + (R₃ + R₅)·J₃ = E₃.

Решив систему уравнений, находят контурные токи J₁, J₂, J₃. Затем определяют реальные токи в ветвях, причем токи во внешних ветвях равны контурным, а в смежных – алгебраической сумме 2-х контурных токов, протекающих в данной ветви

I₁ = J₁; I₂ = J₂ - J₁; I₃ = J₂ - J₃; I₄ = J₂; I₅ = J₃.

И сходная система уравнений в матричной форме

или

[R]·[J] = [E],

где [R] – квадратная матрица коэффициентов контурных токов;

[J] – матрица – столбец контурных токов;

[E] – матрица – столбец ЭДС.

Решением матричного уравнения является матрица

[J] = [R]^-1 ·[E],

где [R]^-1 – матрица, обратная матрице [R].

Пример:

Рис. 2.22. – Расчет цепи методом контурных токов

Для схемы замещения электрической цепи, показанной на рис. 2.22, задано: E₁ = 30 B; E₂ = 10 В; R₁ = 8 Ом; R₂ = 15 Ом; R₃ = 36 Ом. Требуется определить токи в ветвях методом контурных токов. Составить баланс мощности.

Схема содержит три ветви (m = 3), два узла (n = 2). Выбираем положительные направления токов в ветвях произвольно. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, равно m - (n - 1) = 2. Задаем направление контурных токов (например, по часовой стрелке) и составляем систему уравнений

(R₁ + R₂)·J₁ - R₂·J₂ = E₁ - E₂

- R₂·J₁ + (R₂ + R₃)·J₂ = E₂.

Подставляя численные значения сопротивлений резисторов и ЭДС в приведённые уравнения, находим контурные токи J₁, J₂ (Например, методом определителей)

20 = 23·J₁ – 15·J₂

10 = - 15·J₁ + 51·J₂

Токи в ветвях

I₁ = J₁ = 1,23 А; I₂ = - J₂ + J₁ = 1,23 - 0,56 = 0,67 А; I₃ = J₂ = 0,56 А.

Составляем баланс мощностей.

Мощность генераторов (источников)

Р_И = Е₁·I₁ - Е₂·I₂ = 30·1,23 – 10·0,67 = 30,2 Вт,

где произведение Е₂·I₂ имеет знак минус (ток через источник не совпадает с ЭДС, значит источник ЭДС работает в режиме потребителя электрической энергии).

Мощность, потребляемая нагрузкой, составляет

Р_Н = R₁·I₁² + R₂·I₂² + R₃·I₃² = 8·1,23² + 15·0,56² + 36·0,56² = 30,13 Вт.

Погрешность

составляет менее 1%, т. е. токи найдены верно.