20.Активное, реактивное и полное сопротивление двухполюсника. Треугольник сопротивлений.

Н езависимо от внутренней структуры, состава и параметров элементов двухполюсника, состоящего из произвольным образом включенных элементов R, L, C (рис. 7.4), при действии на его входе напряжения u = U_m sin wt входной ток i также синусоидален и имеет в общем случае фазовый сдвиг j по отношению к напряжению: i = I_m sin (wt – j). В зависимости от состава цепи и частоты w угол j лежит в пределах – p/2 £ j £ p/2.

Рис. 7.4

Отношение действующих напряжения и тока (или их амплитуд) на входе двухполюсника называется входным (эквивалентным) полным сопротивлением двухполюсника z: Обратная величина представляет собой входную (эквивалентную) полную проводимость y:

Значения полных сопротивлений и проводимости не дают представления о фазовом сдвиге j между током и напряжением.

Такую информацию содержит комплексное сопротивление двухполюсника . При принятых начальных фазах имеем ; , следовательно, комплексное сопротивление двухполюсника равно:

Вещественная и мнимая части комплексного сопротивления представляют его активное R и реактивное X сопротивления: R = z cos j; X = z sin j.

Треугольник сопротивлений

Если стороны треугольника напряжений (фиг. 155, а) разделить на ток I (фиг. 155, б), то углы треугольника от этого не из менятся, и мы получим новый треугольник, подобный первому — треугольник сопротивлений (фиг. 155, в).

В треугольнике сопротивления, показанном отдельно на фиг. 156, все стороны обозначают сопротивления, причем гипотенуза его является полным или кажущимся сопротивлением цепи.

Из треугольника сопротивлений видно, что полное или кажущееся сопротивление z равно геометрической сумме активного r и индуктивного x_L сопротивлений.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику сопротивлений, получаем:

21. Мощность синусоидального тока. Колебания энергии и мгновенная мощность элементов цепи. Активная, реактивная и полная мощности.

Если к участку цепи приложено напряжение u = U_m×sin(ω×t + φ) и по нему протекает ток i = I_m×sin ω×t, то мгновенная мощность, поступающая в цепь, будет равна .

Мгновенная мощность на активном сопротивлении.

Кривые тока и мощности на индуктивности.

Кривые тока и мощности на емкости.

Кривые изменения тока, напряжения и мощности.

Активная мощность определяется выражением

P = U·I·cosφ = R·I² [Вт].

Она характеризует интенсивность необратимого преобразования электрической энергии в другие виды энергии.

Реактивная мощность определяется выражением

Q = U·I·sinφ = X·I² [Bap].

Она характеризует интенсивность колебательного обмена энергией между источником и реактивными элементами приемника без её преобразования.

Полная мощность определяется выражением

S = U·I = Z·I² [B·A].

Она характеризует амплитуду колебания мощности в цепи.

Комплексная мощность определяется выражением

где - сопряженный вектор.

Умножив все стороны треугольника напряжений на ток, получаем треугольник мощностей, рис. 3.8, в.

Модуль полной мощности равен

22. СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА. ИЗОБРАЖЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ, ИХ ИНТЕГРАЛОВ И ПРОИЗВОДНЫХ В КОМПЛЕКСНОМ ВИДЕ. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ.

СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА:

Пусть требуется сложить два тока: ; (1)

Тригонометрическому уравнению (1) можно дать геометрическую интерпретацию, если каждому синусоидальному значению поставить в соответствие вектор на плоскости в координатах , рис. 2.2а. Длиной вектора будет амплитуда тока, а фазой – начальная фаза синусоиды . Совокупность векторов, соответствующая уравнениям для токов или напряжений, называется векторной диаграммой.

Уравнению (1) можно поставить в соответствие другое уравнение, в котором каждая синусоида будет представлена в виде комплексного числа.

Ток можно записать по формуле Эйлера: (2)

С учетом (2) уравнение (1) примет вид: (3)

Уравнение (3) содержит два типа комплексных чисел:

Прямые:

и сопряженные:

и может быть записано для каждой группы в отдельности, например, (4)

Исключая общие множители и , получим:

(5) или

Комплексное число называется током в комплексной форме или комплексом тока по максимальному значению. Здесь - модуль комплекса по максимальному значению, а - фаза комплекса.

Если за модуль комплекса принять не амплитудное, а действующее значение, то получим комплекс по действующим значениям или просто комплекс тока.

Уравнение (5) для комплексов тока примет вид:

или (6)

Геометрическая интерпретация уравнения (6) на комплексной плоскости приведена на рис. 2.2б. Это так называемая комплексная векторная диаграмма является с учетом масштаба точным аналогом векторной диаграммы, приведенной на рис. 2.2a.

Комплекс тока называют символом мгновенного тока , а метод составления уравнений в комплексной форме – комплексным или символическим.

Забегая вперед, отметим, что расчет цепей комплексным методом имеет значительные преимущества перед методом расчета по мгновенным значениям.

ИЗОБРАЖЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ, ИХ ИНТЕГРАЛОВ И ПРОИЗВОДНЫХ В КОМПЛЕКСНОМ ВИДЕ:

ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ:

Закон Ома в комплексной форме получаем из формулы для комплексного сопротивления:

 

    

По первому закону Кирхгофа,  алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

 

    

Равенство не нарушится, если вместо токов подставить соответствующие комплексы.  Это и будет выражение для первого закона  Кирхгофа  в комплексной форме:

     где - количество ветвей, подходящих к узлу.

     По второму закону Кирхгофа,  в любом (замкнутом) контуре справедливо равенство алгебраических сумм мгновенных значений  напряжений  на сопротивлениях контура и ЭДС:

     Заменив напряжения  и  ЭДС на соответствующие комплексы,  получим выражение для второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

 

     где  - количество элементов в контуре,

           - количество ЭДС в контуре..