§6. Геометрическое определение вероятности.

Нетрудно видеть, что свойства вероятности, зафиксированные в аксиомах и следствиях из них, напоминают свойства длин, площадей и объемов.

Определение. Пусть отрезок длины / составляет часть отрезка длины L. На отрезок L наудачу брошена точка. Вероятность попадания этой точки на отрезок / пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок / определяется

I

равенством р = -.

Определение. Пусть плоская фигура площадью s составляет часть плоской фигуры площадью S. На фигуру S наудачу брошена точка. Вероятность попадания этой точки на фигуру s пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно фигуры S. В этих предположениях вероятность попадания точки на

фигуру ^ определяется равенством р =

iS

Аналогичное определение геометрической вероятности можно дать и для объемных фигур.

Пример. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятностьпопадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Решение. Площадь кольца, образованного этими окружностями, равна s=kR¹- тгг²=(1 00-25)ж= 75к. Площадь большого круга равна

s=7ir²=1007c. Тогда вероятность попадания точки в кольцо равна

р _ s _ 15л _ 3

§6. Независимость событий. Условная вероятность.

Если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность р(в) события в добавить новое условие а, то вероятность события в может измениться.

Определение. Пусть аив - два случайных события по отношению к некоторому опыту, причем р(в) фо. Число р_в{А) = называется

вероятностью события а при условии, что наступило событие в, или просто условной вероятностью события Д.

Из определения следует, что р(ав) =р(в)р_в(а). При этом если р(а) фо_у то р(ав) =р(в)р_в(а) =Р(А)Р_а(В).

Данная формула может быть обобщена на случай произвольного числа событий: р(а_ха₂а_г..а_п) = p{a_x)p_ai(a₂)p_a;_ai(а,)...р_л (а_п).

Пример. Студент знает 15 из 20 вопросов экзамена. Какова вероятность, что он знает содержащиеся в билете 2 вопроса?

Решение. Пусть событие А - студент знает два вопроса билета. Событие Ai - студент знает первый вопрос билета. Событие А2 - студент знает второй вопрос билета. Студент знает два вопроса билета - это значит, что он знает первый и знает второй вопросы билета. Этот факт можно записать в виде а=а₁а₂

условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Р_А(В) = Р(В).

Значит, если события А и В независимы, то формула для произведения событий принимает вид р(АВ) = р(А)Р(В) , при этом выполнение условий Р(А)ф о и Р(В)ф о не требуется. Если независимы события А и В, то независимы В и А, А и в, а и В, айв.

Выше приведенная формула может быть обобщена для произведения нескольких событий: р(а_ха₂...а_п) = р(л, )р(а₂)...р(а_п).

Пример 1. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7; для второго стрелка - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе а) в мишень попадет только один из стрелков; б) в мишень попадут оба стрелка.

Решение. Пусть событие A j - в мишень попал первый стрелок, р(л,) = о,7 событие А2 - в мишень попал второй стрелок, Р(а₂) = 0,8 событие А — в мишень попал только один из стрелков, событие В - в мишень попали оба стрелка События Ai и А2 независимы. Кроме того р(а_х) = 1 - р(а_]) = i -0,7=0,3, р(1₂) = 1 - р(а₂) = 1 - 0,8 = 0,2

а) Произошло событие А - это значит, что попал первый стрелок и при этом не попал второй или не попал первый стрелок и при этом попал второй. Это можно записать в виде а = а_ха^+а^а₂. Тогда

р(а) = р(а, )р(а_г) + р{а_х)р{а₂ ) = 0,7 • 0,2 + 0,3 • 0,8 = 0,3 8.

б) Произошло событие В - это значит, что попал первый стрелок и попал второй. Это можно записать в виде в = а_ха₂. Тогда

р(в) = р{а_х )р(а₂) = 0,7 • 0,8 = 0,56.

Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: pi=0,7; р₂=0,8; р₃=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех трех орудий.

Решение. Пусть событие A j - попало первое орудие, р(а_х) = р_х =0,7 событие А₂ - попало второе орудие, р(А₂) = р₂= о,8 событие А₃ - попало третье орудие, р{а_у) = р₃ = о,9 событие А - при залпе из трех орудий попало хотя бы одно События А], А₂ и А₃ независимы. Кроме того p(aj= \ - р(а_х) = 1 - 0,7 = о,з, р(а_г) = 1 -р(а₂) = 1 -0,8 = 0,2, р(а_}) = 1 -р{а,) = 1 -0,9 = 0,1.

Попало хотя бы одно орудие из трех - это значит, что попало одно или попало два или попали все три орудия. Задача может быть решена

аналогично предыдущей, но это приведет к перебору большого числа возможных случаев. Существует более удобный способ.

Сформулируем противоположное к А событие а : ни попало не •одно орудие, т.е. не попало первое и не попало второе и не попало третье. Это значит а = тогда р(а) = р{а_х)р(а₂)р(а_ъ) = 0,3• 0,2• 0,1 = 0,006

р(а) = 1 - р(а) = 1 - 0,006 = 0,994 .