§15. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Пусть случайная величинах задана законом распределения:

^cj X 2 ••• Xу!

Р А Р₂ ••• Рп'

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называю сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Обозначение: М(Х). То есть м(Х) = х_хР] +х₂р₂ +...+х_пРп.

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Для того, чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания используют дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Обозначение: D(X). То есть

D(X) = M[X -M(X)]².

Из определения следует, что D(X)>0.

Однако, для практического вычисления дисперсии эта формула не удобна. Поэтому мы будем пользоваться теоремой:

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания. То есть D(X) = М(Х²) -[M{X)f.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Xназывают квадратный корень из дисперсии. Обозначение: о(Х). То есть <t(jc) = -Щх).

Для биномиального закона распределения м(Х) = п_Р D(X) = n_Pq. Для закона распределения Пуассона м(Х) = D(X) = л.

Пример. Для дискретной случайной величины X, заданной законом x 1 5 7

распределения , найти ее числовые характеристики М(Х),

р 0,5 0,2 0,3

D(X), о(Х).

Решение. М(Х) = х_хРх + х₂р₂ + х_ъРъ = 1 • 0,5 + 5 • 0,2 + 7 • о,з = 3,6 Некоторые вычисления для нахождения D(X) удобно выполнять в

таблице. Дополним таблицу, задающую этот закон распределения, еще

x 15 7

одной строкой X²: х² 1 25 49 . Найдем математическое ожидание

р 0,5 0,2 0,3

случайной величины X², используя две последние строки этой таблицы:

М(Х²) = х²р_х + х\р₂ + х\_Ръ = 1 • 0,5 + 25 • 0,2 + 49 • 0,3 = 20,2

D(X) = М{Х²) - [М(Х)]² = 20,2 - (3,6)² = 7,24 ст(х) = jD(X) = JlJA « 2,69

ЛИТЕРАТУРА

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1998. Э^-

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1998.

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ЮНИТИ, 2003.

4. Солодовников А.С. Теория вероятностей. -М.; Просвещение, 1983.

5. Максимов Ю.Д. и др. Курс высшей математики (для гуманитарных специальностей). - Санкт-Петербург, 1999.

6. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах, часть 2. - М.: Высшая школа, 1997. З^Этк-я

type £

пс./^&г /А?

¹ 20

Найдем вероятность p_Ai(A₂). Если уже произошло событие А₇, то есть

студент знает первый вопрос билета, то второй вопрос выбирается из оставшихся 19 вопросов экзамена. При этом остается 14 вопросов,

которые студент знает. Значит, р_Ах (Л₂) = 11. Тогда р(а) = р(а, а_г ) = р(а_} )p_at (а₂) = ^ •.11 = |1.

1Определение. Событие в называют независимым от события а, если появление события а не изменяет вероятности события в, то есть если