§7. Формула полной вероятности и формула Бейеса (Байеса).

Предположим, что событие А может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий B_h В₂, ...В_п. Условимся называть эти события по отношению к А гипотезами. Имеет место формула полной вероятности:

р(А) = р(в,)p_bi (А) + р(в₂)p_bi (А)+...+р(в„)р_вп (А). Вероятность события А равна

сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятности самих гипотез.

Пример. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей - на заводе № 2 и 18 деталей - на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3 эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,8. Найти вероятности того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

Решение. Обозначим событие А - извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества, событие Вi - извлеченная наудачу деталь изготовлена на заводе № 1, событие В₂ - извлеченная наудачу деталь изготовлена на заводе № 2, событие В₃ - извлеченная наудачу деталь изготовлена на заводе № 3. Всего имеется деталей я=12+20+18=50. Тогда, согласно

классическому определению вероятности, р(в_х)=^ = — = о,24,

п 50

n_R 20 п_п is

Р(В₂) = ^ = ^- = 0,4, Р(2?з) = -А = ^ = 0,36. «50 п 50

Условие «деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества» переформулируем в виде «деталь отличного качества при условии, что она изготовлена на заводе № 1». Теперь понятно, что вероятность 0,9 из условия задачи - это р_в< (А), т.е. p_Bi (А) = о,9. Аналогично получим, что р_вг (А) = 0,6 и р_вз (А) = 0,8 .

Теперь по формуле полной вероятности:

р(а) = р(в, )p_bi (а) + р(в₂ )p_bi (а) + р(в₃ )р_в} (а) = 0,24 • 0,9 + 0,4 • 0,6 + 0,36 • 0,8 = 0,744.Формула Бейеса. Пусть произведен опыт и в результате его наступило событие А. Нельзя сказать, какое из событий В_1} В₂, ...,В_п имело место, но с помощью формулы Бейеса можно найти вероятность каждой из гипотез в предположении, что наступило событие А.

ПWW

^Л,) Р{А) '

где Р(А) - полная вероятность события А. Еще эту формулу можно

Р(В,)Р_в(А)

записать в виде Л (В,) = .

Пример. В первой урне 3 белых шара и 2 черных. Во второй урне 7 белых шаров и 4 черных. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар. Шар, извлеченный из второй урны, оказался белым. Найти вероятность того, что из первой урны во вторую переложили черный шар.

Решение. Обозначим событие А - из второй урны извлекли белый шар, событие В] - из первой урны во вторую переложили белый шар, событие В2 — из первой урны во вторую переложили черный шар. Нам нужно найти Р_А(В₂) .

В первой урне 5 шаров, из них 3 белых, тогда р{в_х) = ^- = ~.

п 5

Аналогично Р(В₂)=^=-.

п 5

Если из первой урны во вторую переложили белый шар (событие Bj), то во второй урне стало 12 шаров, из низ 8 белых. Значит, Р_Щ(А) = — .

Если из первой урны во вторую переложили черный шар (событие В₂), то

у

во второй урне стало 12 шаров, из низ 7 белых. Значит, р_в\А) =—.

Найдем полную вероятность события А:

P(A) = P(B,)P_Bi(A) + P(B₂)P_B2(A) = j~ + I~ = ^.

2

Теперь по формуле Бейеса найдем р_а(B₂) = — = -"^р- = ^ •

30