§ 8. Формула Бернулли.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Будем считать, что вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же

и равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q=l-p.

Найдем вероятность того, что при п испытаниях событие А осуществится к раз и, следовательно, не осуществится п-к раз. При этом не требуется, чтобы событие А повторилось к раз в определенной последовательности. Такая вероятность находится по формуле Бернулли: P_n(k) = C^k_np^kq"-^k.

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении одних суток не превысит установленной нормы, равна р= 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии не превысит норму а) в течении 4 суток, б) в течении не менее чем 4 суток.

Решение, a) q=l-p=l-0,75=0,25.

) = QW =—(0,75)⁴(0,25)² =15-(0,75)⁴(0,25)² =0,29.

б) Не менее чем 4 суток из шести - этому условию удовлетворяют три значения: 4, 5 или 6 суток. Вероятность этого события обозначается Р₆ (4,5,6) ИЛИ Р_ь (4,6) . Тогда

Р₆ (4,5,6) = Р₆ (4) + Р₆ (5) + Р₆ (6) = C₆W"⁴ + C⁵₆p⁵q⁶-⁵ + C⁶₆p⁶q⁶~⁶ =

⁶¹ -(0,75)⁴(0,25)² +— (0,75)⁵(0,25)' + —^ (0,75)⁶(0,25)° =

4!(6 —4)! 5!-(6 — 5)! 6!<6-6)!

= 15-(0,75)⁴(0,25)² + 6-(0,75)⁵(0,25)' + 1-(0,75)⁶(0,25)⁰ =0,2966 + 0,3560 + 0,1780 = 0,8306

#

§ 9. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

При больших значениях п применение формулы Бернулли представляет значительные трудности. В этом случае удобно использовать локальную теорему Лапласа для нахождения р_п (к) и интегральную теорему Лапласа для нахождения р_п (&, д₂).

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность р_п(к) того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно к раз приближенно равна (тем точнее, чем больше п)

V²

1 7 1

^р,<(к)^х —г=<Р(^х) 5 ГДе х = и р(д ) = _еГ2\ Tjnpq дjnpq ы1п

Значение функции <р(х) находят по специальным таблицам. При этом учитывается, что функция <р{х) - четная, т.е. ср(-х) = <р(х) и при х > 4 (р(х)« 0.

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность p_n(k_x,k₂) того, что событие А появится в п независимых испытаниях от до к₂ раз приближенно равна (тем точнее, чем больше п)

к,₇-пр ^х_с \ ~

Ф(х₂)-<&(*!), где х,₂ = '• и Ф(х)=\_п=е dz .

Vnpq о л/2л"

Значение функции ф(х) находят по специальным таблицам. При этом учитывается, что функция ф(х) - нечетная, т.е. ф(-х) = -ф(х) и при х > 5 ф(х) * 0,5.

Пример. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна р=0,2. Найти вероятность того, что среди 400 отобранных деталей бракованными окажутся а) 50 деталей, б) от 70 до 100 деталей.

Решение. п=400; р=0,2; q=l-0,2=0,8. а) Для этого случая используем локальную теорему Лапласа при к=50.

к-пр 50-400-0,2 -30 х = .—_ = = = = -3,75

jnpq V⁴⁰⁰'⁰'²'⁰'^{8 8}

находим по таблицам

= 0,0004

р(х) = р(-3,75) = р(3,75) =

Тогда Р_ш (50)« >(х) = . ¹ • 0,0004 = 0,00005 . yjnpq ^400-0,2-0,8

б) Для этого случая используем интегральную теорему Лапласа при к]=70 и к₂=100.

₌ к₁-пр_₌ 70-400-0,2 _ -10 _ _т _^ _ 100-4000,2 _20_

находим по таблицам

^Xl Vw л/400-0,2-0,8 8 ' ² fi^q ^4000,2-0,8 8

Р„ (к, ,к₂) = Р₄₀₀ (70,100)« Ф(х₂) - Ф(х,) = Ф(2,5) - Ф(-1,75) = Ф(2,5) + Ф(1,75) = = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882