§ 12. Закон распределения Пуассона. Простейший поток событий.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Уже было показано, что для небольших значениях п используется формула Бернулли; для больших значений п - локальная теорема Лапласа. Но для случая, когда

значение п велико, а р - мало (р<0,1), локальная теорема Лапласа непригодна. В этих случаях используют формулу Пуассона (закон распределения Пуассона). Обозначим пр = л. Тогда вероятность р_п(к) того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно к раз

приближенно равна ?„(£)» .

к\

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (п велико) и редких (р мало) явлений.

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что при транспортировке изделие повредится, равна

0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию п=5000, р=0,0002, к=3. Найдем л = пр = 5000 • 0,0002 = 1. По формуле Пуассона искомая вероятность

I³ e~^l 1

приближенно равна р₅₀₀₀ (3)» —— = — ® 0,06.

3! бе

Определение. Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примеры случайных событий: поступление вызовов на АТС или в пункт скорой помощи, последовательность отказов элементов прибора.

Определение. Интенсивностью потока X называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Тогда вероятность появления к событий простейшего потока за

время t определяется формулой Пуассона: р, (к)« ^——.

к\

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит не более двух вызовов.

Решение. Условию «не более двух вызовов» удовлетворяют значения 0, 1 или 2 вызова. По условию задачи к=2.

0! 1! 2! р₅ (0,1,2) = р₅ (0) + р₅ (1) + р₅ (2)« <Г¹⁰ +1 Ое~¹⁰ + 50е~^]0 = 6к^-10 * 0,00277

§ 13. Геометрический закон распределения.

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р и, следовательно, вероятность непоявления события^ равна q=l-p. Испытания заканчиваются, как только наступает событие А. Таким образом, если событие А появилось в А;-м испытании, то в предшествующих к-1 испытаниях оно не появилось.

Обозначим через X дискретную случайную величину - число испытаний, которое нужно провести до первого появления события А. Тогда по свойству умножения вероятностей получим:

Р(Х = к) = q^k~^xp.

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р=0,6. Найти веоятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По условию р=0,6; q=0,4; к=3. Искомая вероятность равна р(х = з) = q^kap = (0,4)^3-1 (0,6) = 0,096.§14. Гипергеометрический закон распределения.

Рассмотрим задачу. Пусть в партии из N изделий имеется М

%

стандартных (M<N). Из партии случайно отбирают п изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем каждое изделие перед отбором следующего не возвращается в партию, поэтому формула Бернулли здесь не применима. Обозначим через X случайную величину - число т стандартных изделий среди п отобранных. Тогда искомая вероятность находится по формуле

т fiп-т

Р(Х = т) = , где

yN

с™ - число способов выбора т стандартных из имеющихся М стандартных,

C"_N~_^m_M - число способов выбора п-т нестандартных из имеющихся N-M нестандартных,

cⁿ_N - число способов выбора п деталей из всех имеющихся N деталей.

Данная формула и определяет распределение вероятностей ДСВ, которое называют гипергеометрическим.

Пример. В ящике 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Написать в виде таблицы закон распределения дискретной случайной величины Х- числа окрашенных деталей среди трех отобранных.

Решение. По условию задачи N=10, М=6, п=3. Значения т (число окрашенных деталей среди трех отобранных) будут меняться и принимать значения 0, 1, 2, 3.

При	т	=0	Р(Х	= 0) =	с3	с°с3 6 4 с3	1-4 ~ 120	1 "зо
При	т	=1	Р(Х	=1)=	с3	с'с2 6 4 с3 МО	6-6 _ 120	3 10 '
При	т	=2	Р(Х	= 2) =	с3	с2с' 6 4 с3	_ 15-4 120	_ 1 ~ 2
При	т	=3	Р(Х	= 3) =	с3	с3с° 6 4 с3	20-1 120	_ 1 ~6

Запишем закон распределения в виде таблицы:

X 0 1 2 3

_D 1/ 3/ 1/ 1/- ^р /30 /10 /2 /6

1 3 11

Для контроля правильности решения найдем р₁+р₂+р₃+р₄=—+—+-+- = \

30 10 2 6