- •1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение
- •2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
- •3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная
- •4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример
- •5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). N-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.
- •7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы
- •9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с n переменными. Понятие о методе Жордана–Гаусса
- •10. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера–Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений
- •11. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.
- •12. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие
- •13. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы).
- •14. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.
- •16. Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса
- •17. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора
- •18. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный
- •19. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
- •20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы
- •21. Собственные векторы и собственные значения оператора ã
- •22. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. Пример
- •23. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример
- •24. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм
- •25. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная
- •26. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести)
- •27. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •28. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический
- •29. Канонические уравнения гиперболы и параболы, геометрический
- •30. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- •31. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения
- •32. Углы между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности
9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с n переменными. Понятие о методе Жордана–Гаусса
Метод последовательного исключения переменных заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов исходная система ур-ний приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида, из кот последовательно находятся все неизвестные переменные. Вычисление удобно проводить не с самими уравнениями, а с матрицами их коэффициентов.
Метод Жордана —Гаусса (метод полного исключения неизвестных)
1. Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.
2. Если самое верхнее число в этом столбце есть ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
3. Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.
4. Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.
5. Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
6. После повторения этой процедуры раз получают верхнюю треугольную матрицу
7. Вычитают из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
8. Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).
9. Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.
10. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера–Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений
Система т линейных ур-ний с п переменными имеет вид:
{а11х1+а12х2+а13х3+…+а1пхп=b1
{ а21х1+а22х2+а23х3+…+а2пхп=b2
{……………………………….
{ ат1х1+ат2х2+ат3х3+…+атпхп=bт
Систему Ур-ний ↑ можно записать в матричной форме: А- матрица системы сост из коэффициентов при неизвестных. Х-матрица неизвестных, В-матрица-столбец свободных членов.
(а11 а12 а13 …а1п) (х1) (b1)
А=( а21 а22 а23 …а2п) Х= (х2) В= (b2)
(…………………..) (…) (…)
( ат1 ат2 ат3… атп) (хп) (bn)
Система ур-ния в матричной форме имеет вид Ах=В.
Решением системы наз. такой набор переменных (х1,х2,х3…,хn), при подстановке кот. в сис-му все уравнения сис-мы превращаются в верное тождество
Теорема: Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.
Система ур-ний наз. совместной, если она имеет хотя бы одно решение, несовместной, если не имеет решений. Совместная система ур-ний наз. определенной, если имеет ед. решение, и неопределенной, если имеет более 1 решения. Если ранг системы равен числу неизвестных r=n, то система имеет ед. решение и явл. определенной. Если ранг системы меньше числа неизвестных r<n, то система явл. неопределенной и имеет бесконечное множество рашений.