- •1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение
- •2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
- •3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная
- •4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример
- •5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). N-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.
- •7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы
- •9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с n переменными. Понятие о методе Жордана–Гаусса
- •10. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера–Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений
- •11. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.
- •12. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие
- •13. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы).
- •14. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.
- •16. Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса
- •17. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора
- •18. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный
- •19. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
- •20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы
- •21. Собственные векторы и собственные значения оператора ã
- •22. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. Пример
- •23. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример
- •24. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм
- •25. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная
- •26. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести)
- •27. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •28. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический
- •29. Канонические уравнения гиперболы и параболы, геометрический
- •30. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- •31. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения
- •32. Углы между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности
18. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный
базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве
Ортогональные векторы – векторы, скалярное произведение которых равно 0. Нулевой вектор ортогонален любому другому вектору.
Векторы е1, е2, ..., еn n-мерного евклидова пространства образуют ортогональный базис, если эти векторы попарно ортогональны, т.е. (е1, еj)=0, и ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице.
Теорема. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Примером ортонормированного базиса является сис-ма n единичных векторов еj, у которых i-тая компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю.
19. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
Если задан закон (правило), по которому каждому вектору х пространства Rn ставится в соответствие единственный вектор у пространства Rm, то говорится, что задан оператор (преобразование, отображение) Ã(х), действующий из Rn в Rm, и записывают у = Ã(х).
Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов х и у пространства Rn и любого числа λ выполняются соотношения:
1) Ã(х+у) = Ã(х) + Ã(у)- св-во аддитивности оператора. 2) Ã(λх) = λ Ã(х)- св-во однородности оператора.
Вектор у = Ã(х) называется образом вектора х, а сам вектор х – прообразом вектра у.
20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы
Матрицей линейного оператора называется матрица размера m×n , у которой
1) столбцы определяются как координатные столбцы образов базисных векторов. 2) строки определяются как коэффициенты в выражении координат образа произвольного вектора через координаты самого этого вектора
Матрица А = (aij) (i,j = 1, 2, …, n) называется матрицей оператора Ã в базисе (е1, е2, ..., еn), а ранг r матрицы А – рангом оператора Ã. Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. И обратное. Связь между вектором х и его образом у = Ã(х) можно выразить в матричной форме уравнением у = Ах, где А – матрица линейного оператора, х и у – векторы, записываемые в виде вектор-столбцов. Рангом линейного оператора называется размерность его образа.
Операции: Сумма 2-х линейных операторов à и В называется оператор (à + В), определяемый равенством (à + В) (х) = Ã(х) + В(х). Произведением линейного оператора à на число λ, называется оператор λÃ, определяемый равенством (λÃ) (х) = λ(Ã(х)). Произведением линейных операторов à и В называется оператор ÃВ, определяемый, равенством (ÃВ)(х) = Ã(В(х)). Нулевой оператор- оператор, переводящий каждый элемент в нулевой элемент. Тождественный оператор - (единичный оператор)— оператор, отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)