21. Собственные векторы и собственные значения оператора ã

(матрицы А). Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.

Вектор х ≠ 0 называется собственным вектором линейного оператора Ã (или матрицы А), если найдется такое число λ, что Ã(х) = λх. Число λ называется собственным значением оператора А (матрицы А), соответствующим вектору х.

Характеристическим многочленом линейного оператора А называют характеристический многочлен его матрицы А, записанный в некотором базисе, а характеристическим уравнением этого оператора – характеристическое уравнение матрицы А.

Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса.

Для произвольной квадратной матрицы A = (a_ij ) порядка n рассмотрим определитель

a₁₁ − λ a₁₂ . . . a_1n

det(A − λE) = a₂₁ a₂₂ − λ . . . a_2n

. . . . . . . . . . . . . . . .

a_n1 a_n2 . . . a_nn − λ

где E — единичная матрица, а λ — действительное переменное.

22. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. Пример

Е сли имеется n линейно независимых собственных векторов х₁, х₂, ..., х_n, соответствующих различным собственным числам λ₁, λ₂, …, λ_n, то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R_n. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .

тогда,

Таким образом, матрица линейного оператора Ã в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора Ã.

Если матрица А линейного оператора Ã в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса – собственные векторы оператора Ã.

23. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример

Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом.

Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из её коэффициентов. (матрица, у которой все элементы а_ij = a_ji, называется симметрической).

Рангом квадратичной формы называют ранг её матрицы. Ранг матрицы квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Пример. Записать матрицу квадратичной формы κ (х₁, х₂, х₃) = х₁²-6х₁х₂-8х₁х₃+7х₂²+4х₂х₃-5х₃² и найти её ранг. Решение: в данном случае а₁₁=1, а₁₂=а₂₁=-3, а₁₃=а₃₁=-4, а₂₂=7, а₂₃=а₃₂=2, а₃₃=-5, поэтому

(1 -3 -4)

А=(-3 7 2)

(-4 2 -5) вычисли определитель этой матрицы, он равен -58. Т.к. det A≠0, ранг матрицы равен 3. Эта квадратичная форма является невырожденной, поскольку r=n

24. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм

Квадратичная форма называется канонической, если она не содержит произведений различных переменных.

Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Пример. Приведем к каноническому виду квадратичную форму

 x² + 5y² + z² + 2xy + 6xz + 2yz.

Е е матрица имеет вид  

собственные числа и ортонормированные собственные векторы этой матрицы:

  Составим матрицу перехода к базису из этих векторов:

(порядок векторов изменен, чтобы они образовали правую тройку). Преобразуем координаты по формулам:

Получим:

Итак, квадратичная форма приведена к каноническому виду с коэффициентами, равными собственным числам матрицы квадратичной формы.

Теорема. Закон инерции. Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду. Число положительных канонических коэффициентов квадратичной формы называется положительным индексом инерции квадратичной формы. Число отрицательных канонических коэффициентов квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы. Разность между положительным и отрицательным индексами квадратичной формы называется сигнатурой квадратичной формы. Число ненулевых канонических коэффициентов называется рангом квадратичной формы.