11. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.

Пусть ранг матрицы r(A)=r<n. Переменные называются базисными (основными), если определитель матрицы коэффициентов при них (базисный минор) отличен от нуля. Количество базисных переменных равно r. Другие n-r переменных называются свободными (неосновными). Выражение базисных переменных через свободные называется общим решением системы. Из него можно получить бесконечное множество частных решений, придавая свободным переменным произвольные значения.

Решение системы, в котором свободные переменные имеют нулевые значения, называется базисным решением.

12. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие

существования ненулевых решений системы

Если все свободные члены системы уравнений равны нулю, то такая система называется однородной, если же хотя бы один свободный член отличен от нуля, система называется неоднородной.

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы равен нулю.

Система всегда совместна. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю.

Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n. Если однородная система нетривиально совместна, то она имеет бесконечное множество решений, причем линейная комбинация любых решений системы тоже является ее решением.

13. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы).

Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.

Вектор – это направленный отрезок прямой. Нулевой вектор – вектор, у которого совпадают начало и конец. Длина вектора АВ - это неотрицательное число, равное длине отрезка АВ. Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или || прямых. Два коллинеарных вектора а и b называют сонаправленными, если их направления совпадают. Два коллинеарных вектора а и b называют противоположно направленными, если их направления противоположны. Два вектора называются равными, если они сонаправленные и их длины равны. Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны.

Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости. Любые два вектора компланарны. Любые три вектора, среди которых есть два коллинеарных, компланарны.

Произведением вектора а на число k называется вектор, b=ak, направление которого совпадает с направлением вектора a, если k>0, и противоположно ему, если k<0. Суммой двух векторов a и b называется вектор c=a+b, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец – с концом вектора b при условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора а.