- •1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение
- •2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
- •3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная
- •4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример
- •5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). N-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.
- •7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы
- •9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с n переменными. Понятие о методе Жордана–Гаусса
- •10. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера–Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений
- •11. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.
- •12. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие
- •13. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы).
- •14. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.
- •16. Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса
- •17. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора
- •18. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный
- •19. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
- •20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы
- •21. Собственные векторы и собственные значения оператора ã
- •22. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. Пример
- •23. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример
- •24. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм
- •25. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная
- •26. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести)
- •27. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •28. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический
- •29. Канонические уравнения гиперболы и параболы, геометрический
- •30. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- •31. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения
- •32. Углы между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности
14. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.
Скалярное произведение – число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
Угол между двумя векторами – наименьший угол поворота одного вектора вокруг своего начала в плоскости векторов для совмещения их направлений.
15. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость
и независимость векторов
n-мерный вектор - упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел а1, а2, а3,...ап
Линейная комбинация векторов – вектор аm, равный сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа.
Линейная зависимость векторов – векторы a1, a2, a3 векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа, неравные 0 одновременно, что сумма произведений векторов на произвольные числа равна 0. В противном случае векторы называются линейно независимыми
16. Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса
Векторное пространство – множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число. Под x, y, z можно рассматривать не только векторы, но и элементы любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством.
Размерность пространства – максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов
Базис – совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R
Теорема. Каждый вектор х линейного пространства R можно представить (и притом единственным способом) в виде линейной комбинации векторов базиса.
Пусть векторы е1, е2,..., еn образуют произвольный базис n-мерного пространства R. Так как любые из (n+1) векторов n-мерного пространства R зависимы, то будут зависимы, в частности, векторы е1, е2,...,еn и рассматриваемый вектор х. Тогда существуют такие не равные одновременно нулю числа λ1, λ2,....,λn, λ, что: λ1е1 + λ2е2 + λnen + λx =0. При этом λ≠0. Следовательно, х = х1е1 + х2е2 + ... + хnen – это равенство называется разложением вектора х по базису (е1, е2,..., еn), а числа х1, х2,..,хn- координатами вектора х относительно этого базиса. В силу единственности разложения каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе.
17. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора
Скалярным произведением двух векторов х=(х1, х2,..., хn) и у=(у1, у2,..., уn) называется число (х, у)= х1у1 + х2у2 + ... + хnyn. Свойства скалярного произведения: 1) (х,у) = (у,х)- коммуникативное св-во. 2) (х,у+z) = (х,у) + (х,z)- дистрибутивное св-во. 3) (αх,у) = α (х,у)- для любого действительного числа α. 4) (х,х)>0, если х – ненулевой вектор; (х,х)=0, если х – нулевой вектор.
Евклидово пространство – линейное (векторное0 пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четыре свойствам (рассматриваемым как аксиомы).
Длиной (нормой) вектора х в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного произведения. Свойства длины вектора: 1) |x|=0 тогда, когда х=0. 2) |λх| = |λ||х|, где λ- действ. число. 3) |(х,у)| ≤ |х||у|.
4) |х+у| ≤ |х|+|у|