[Ред.]Твори

Лагранжу належать понад 100 математичних праць, багато з них були трактатами, й усі публікації відзначалися найвищою якістю. Але найвизначнішим твором Лагранжа стала «Аналітична механіка», надрукована в 1787 р. В цій роботі вчений узагальнив свої дослідження з класичної механіки й надав цій науці елегантної й довершеної форми.

Г. Крамер та його метод розв.сис.лін.алг.рівнянь

Крамер народився в сім'ї франкомовного лікаря. З раннього віку показав великі здібності до математики. У 18 років захистив дисертацію. У 20-річному віці Крамер виставив свою кандидатуру на вакантну посаду викладача на кафедрі філософії Женевського університету. Кандидатур було три, всі справили гарне враження, і магістрат прийняв соломонове рішення: заснувати окрему кафедру математики і направити туди (на одну ставку) двох «зайвих», включаючи Крамера, з правом подорожувати по черзі за свій рахунок.

У 1727 Крамер скористався цим правом і 2 роки мандрував Європою, заодно переймаючи досвід у провідних математиків — Йоганна Бернуллі і Ейлера в Базелі, Галлея іде Муавра в Лондоні, Мопертюї і Клеро в Парижі та інших. Повернувшись, він вступає з ними в листування, що тривало все його недовге життя.

У 1728 Крамер знаходить розв'язок Санкт-Петербурзького парадоксу, близький до опублікованого через 10 роківДаніелем Бернуллі.

1729: Крамер повертається до Женеви і відновлює викладацьку роботу. Він бере участь у конкурсі, оголошеномуПаризькою академією, завдання в якому: чи є зв'язок між еліпсоїдною формою більшості планет та зміщенням їх афеліїв? Робота Крамера займає друге місце (перший приз отримав Йоганн Бернуллі).

У вільний від викладання час Крамер пише численні статті на найрізноманітніші теми: геометрія, історія математики,філософія, застосування теорії ймовірностей. Крамер також публікує працю з небесної механіки (1730) та коментар до ньютонівської класифікації кривих третього порядку (1746).

Близько 1740 Йоганн Бернуллі доручає Крамеру клопоти з видання збірки зібрання своїх праць. У 1742 Крамер публікує збірник у 4 томах, а незабаром (1744) випускає аналогічний (посмертний) збірник робіт Якоба Бернуллі і двотомник листування Лейбніца з Іоганном Бернуллі. Всі ці видання мали величезний резонанс у науковому світі.

1747: друга подорож у Париж, знайомство з Даламбера.

1751: Крамер отримує серйозну травму після дорожнього інциденту з каретою. Доктор рекомендує йому відпочити на французькому курорті, але там його стан погіршується, і 4 січня 1752 Крамер вмирає.

«Вступ до аналізу алгебраїчних кривих» — найвідоміша з робіт Крамера, опублікована французькою мовою («Introduction à l'analyse des lignes courbes algébraique», 1750). У ньому вперше доводиться, що алгебраїчна крива n-го порядку в загальному випадку цілком визначена, якщо задані її n (n + 3) / 2 точок. Для доказу Крамер будує систему лінійних рівнянь і вирішує її за допомогою алгоритму, названого пізніше його ім'ям: метод Крамера.

Крамер розглянув систему довільної кількості лінійних рівнянь з квадратною матрицею. Рішення системи він представив у вигляді стовпця дробів із спільним знаменником — визначником матриці. Терміна «визначник» (детермінант) тоді ще не існувало (його ввів Гаус в 1801), але Крамер дав точний алгоритм його обчислення: алгебраїчна сума всіляких творів елементів матриці, по одному з кожного рядка і кожного стовпця. Знак доданка в цій сумі, за Крамеру, залежить від числа інверсій відповідної підстановки індексів: плюс, якщо парне. Що стосується чисельнику у стовпці рішень, то вони підраховуються аналогічно: n-й чисельник є визначник матриці, отриманої заміною n-го стовпця вихідної матриці на стовпчик вільних членів.

Методи Крамера відразу ж отримали подальший розвиток у працях Безу, Вандермонда та Келі, які й завершили створення основ лінійної алгебри. Теорія визначників швидко знайшла безліч застосувань в астрономії і механіці (вікове рівняння), при рішенні алгебраїчних систем, дослідженні форм тощо.

Крамер провів класифікацію алгебраїчних кривих до п'ятого порядку включно. Цікаво, що у всьому своєму змістовному дослідженні кривих Крамер ніде не використовує математичний аналіз, хоча він безперечно володів цими методами.

Правило Крамера(швейцарський математик, 31.07.1704 - 04.01.1752):

якщо основний визначник  неоднорідної системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами  (1)

де  – допоміжний визначник, який одержується з основного визначника  – шляхом заміни його k-го стовпця стовпцем вільних членів системи.

Отже:

Якщо  , то система матиме єдиний розв’язок (1).

Якщо  , то система або невизначена, або несумісна(система буде несумісною – не матиме жодного розв’язку, якщо хоча б один з  ) .

Якщо ж  і  , то система матиме безліч розв’язків.

Перед розв’язком даних систем лінійних рівнянь потрібно перевірити необхідні умови застосування методу Крамера:

1. Кількість рівнянь системи дорівнює кількості невідомих.

2. Визначних основної матриці системи не дорівнює нулю 

Зауваження. Метод Крамера доцільно використовувати, коли кількість рівнянь та невідомих  . Метод Крамера можна застосовувати і для великих значень n, але він потребує більше розрахунків. У випадку, коли n > 3 доцільно використовувати метод Гауса-Жордана (приведення системи до трикутного вигляду).

Бу́лева а́лгебра

Бу́лева а́лгебра — це алгебраїчна структура, що є доповненою дистрибутивнною ґраткою, та частина математикияка вивчає подібні структури.

Алгебра логіки — застосування алгебраїчних методів і символіки для вивчення логічних відношень і розв'язання логічних задач.

Булева алгебра — алгебраїчна структура з двома бінарними операціями:

•  («meet», «булеве множення») — узагальненнякон'юнкції,

•  («join», «булеве додавання») — узагальнення диз'юнкції,

та унарною операцією:

•  чи  («булеве доповнення») — узагальненнязаперечення;

що задовільняють такі аксіоми:

		(комутативність)
		(асоціативність)
		(закон поглинання)
		(дистрибутивність)
		(доповнення)

Аксіоми 1,2,3 визначають ґратку.

Аксіоми 1,2,3,4 визначають дистрибутивну ґратку.

Аксіоми 1,2,3,5 визначають доповнену ґратку.

З аксіом випливають такі теореми:

		(ідемпотентність)

Тобто вирази   та   не залежать від вибору елемента.

Елемент   називається булевою одиницею 1, елемент   називається булевим нулем 0.

		(правила де Моргана)
.		(інволюція заперечення)

Над множиною A також визначене бінарне відношення ≤, яке має назву відношення нестрогого порядку та відповідає умовам:

1. x≤x (рефлективність)

2. якщо x≤y та y≤x, то x=y (антисиметричність)

3. якщо x≤y та y≤z, то x≤z (транзитивність)

Замість x≤y можна писати у≥x. Множина з таким відношенням має назву впорядкованої.

Нехай S — підмножина елементів впорядкованої множини A. Елемент a' має назву верхньої (нижньої) границі S, якщо для будь-якого а з S справедливе a ≤ a' (a ≥ a'). Якщо множина усіх верхніх (нижніх_ границь множини S містить найменший (найбільший) елемент, то він має назву точної верхньої (точної нижньої) границі і позначається sup S(inf S). Якщо для будь-яких a, b з множини A існують inf (a, b) та sup (a, b), то така множина називається структурою або решіткою. Точна верхня границя такої множини є  , точна нижня границя є  .