[Ред.]Етика

На думку Декарта, перш ніж визначити для себе правила поведінки, не можна ж всьому сумніватися, потрібно знати максимипровізоричної моралі, яка допомагає досягненнюойдеймонії (щастя):

1. Дотримуватися всіх законів тазвичаїв країни походження. Жити за середніми поняттями людей свого оточення. Не приймати жодних обов'язків.

2. Завжди бути впевненим в ситуації, в разі непевності — вибирати за найвищою ймовірністю, уникаючи таким чином докорів сумління.

3. Підлаштовуватися під світ, ніж, навпаки, підлаштовувати світ під себе (тут відчувається впливстоїцизму). Єдине, що є в нашому розпорядженні — це розум. Воля прагне тільки того, що їй пропонує розум, отже не може прагнути нічого недосяжного.

4. Спрямовувати життя на розвиток розуму та пізнання.

Історія розвитку поняття функции.

Функція - одна з головних математичних і загальнонаукових понять. Воно зіграла свою роль понині грає великій ролі розуміння реального мира.

Пропедевтичний період (давніх часів до 17 века).

Ідея функціональної залежності перегукується з давнини. Її зміст можна знайти у перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для перебування площі й обсягу тих чи інших постатей. Так, вавилонські вчені (4- 5тыс.лет тому) нехай несвідомо, встановили, що загальна площа кола є функцією з його радіуса у вигляді перебування грубо наближеною формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть бути астрономічні таблиці вавилонян, античних греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталості відносини площ кола і квадрата з його діаметрі чи античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричних образів відповідної зависимости.

Запровадження поняття функції через механічне і геометричне представления

(17 век.)

Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку з проникненням в математику ідеї змінних, поняття функції явно і геть свідомо применяется.

Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквенную математичну символіку, що отримала загальне визнання. Введено було єдине позначення: невідомих - останніми літерами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими літерами тієї самої алфавіту - a, b, з, ... тощо. Під кожною літерою можна було розуміти як конкретні дані, але і ще; в математику прийшла ідея зміни. Тим самим було з'явилася можливість записувати загальні формулы.

З іншого боку, у Декарта і Ферма (1601-1665) в геометричних роботах з'являється чітке уявлення перемінної розміру й прямокутної системи координат. У своїй «Геометрії» в 1637 року Декарт дає поняття функції, за зміну ординати точки залежно через зміну її абсциссы; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно уявити з допомогою рівнянь, притому переважно алгебраїчних. Поступово поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з визначенням аналітичного висловлювання - формули. У 1671 року Ньютон під функцією став розуміти зміну величину, котру змінюють з часом (називав в «флюентой»).

У «Геометрії» Декарта і роботах Ферма, Ньютона і Лейбніца поняття функції мало сутнісно інтуїтивний характері і була пов'язана або з геометричними, або з механічними уявленнями: ординати точок кривих - функція від абсцис (x); шлях збереження та швидкість - функція від часу (t) і т.п.

Аналітичне визначення функции

(17 - початок 19 века).

Саме поняття «функція» (від латинського functio -вчинення, виконання) було вперше вжито німецьким математиком Лейбніцем в 1673г. у листі до Гюйгенсу (під функцією розумів відрізок, довжина якого змінюється по якомусь певному закону), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Ляйбніц ввів також терміни «змінна» і «константа». О 18-й столітті з'являється новий погляд на функцію як у формулу, яка б пов'язала одну зміну з іншого. Це правда звана аналітична думка на поняття функції. Підхід до такого визначенню вперше зробив швейцарський математик Йоганн Бернуллі (1667-1748), що у 1718 року визначив функцію так: «функцією перемінної величини називають кількість, освічене яким завгодно спосіб з цього перемінної розміру й постійних». Для позначення довільній функції від x Бернуллі застосував знак ((x), називаючи характеристикою функції, і навіть літери x чи ( ; Ляйбніц вживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y).

Поруч із ( Эйлер пропонує використовувати літери (,( та інші. Даламбер зробив крок уперед шляху до сучасним позначенням, відкидаючи двокрапка Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s).

Остаточну формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив у 1748 року учень Бернуллі Эйлер (у «Запровадження в аналіз нескінченного»): «Функція змінного кількості є аналітичне вираз, складене якимось чином із цієї кількості і чисел чи постійних кількостей». Так розуміли функцію протягом всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) та інші визначні математики. Що ж до Эйлера, він який завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшого розвитку відповідно до запитами математичного анализа.

У «Диференціальному обчисленні», що на світ в 1755 року, Эйлер дає загальне визначення функції: «Коли кількості залежать друг від друга в такий спосіб, що з зміні останніх й існують самі вони піддаються зміни, то перші називають функцією других». «Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі можливі способи, якими така кількість визначається за допомогою других».

Як очевидно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки у розвитку природознавства і математики викликали й подальше узагальнення поняття функции.

Однією з невирішених питань, пов'язаних із поняттями функції, щодо якого велася жорстка боротьба думок, був такий: чи можна одну функцію поставити кількома аналітичними выражениями?

Вагомий внесок у вирішення спору Эйлера, Даламбера, Бернуллі та інших учених 18 століття до іронічних нарікань, що розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батіст Жозеф Фур'є (1768-1830), який займався основному математичної фізикою. У експонованих їм у Паризьку АН в 1807- 1811 рр. Мемуарах з теорії поширення тепла в твердому тілі, Фур'є навів і перші приклади функцій, які задано в різних ділянках різними аналітичними выражениями.

З праць Фур'є слід було, будь-яка крива незалежно від цього, з скількох і яких різнорідних частин плані вона складається, то, можливо представленій у вигляді єдиного аналітичного вислови й що є також прерывные криві, зображувані аналітичним вираженням. У його «Курсі алгебраического аналізу», опублікованій у 1721г., французький математик О.Коши обгрунтував висновки Фур'є. Отже, на відомому етапі розвитку фізики та математики зрозуміли, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких складно і навіть неможливо обмежитись однією лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідну математикою і природознавством розширення поняття функции.

Ідея відповідності (19 век).

У 1834 року у роботі «Про исчезании тригонометрических рядків» Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755г., писав: «Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, яке давалася кожному за x разом із x поступово змінюється. Значення функції можна буде говорити і аналітичним вираженням, чи умовою, яке подає засіб відчувати все числа й вибирати нам одне з яких; чи, нарешті, залежність може існувати, чи залишатися невідомої... Великий погляд теорії допускає існування залежності в тому сенсі, щоб числа, одні коїться з іншими у зв'язку з, сприймати як б даними вместе».

Ще Лобачевського аналогічна думка на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Отже, сучасне визначення функції, вільний від згадці про про аналітичному завданні, зазвичай приписувану Дирихле, неодноразово пропонувалося до нього. У 1837 року німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: «y є функція перемінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенням x у цьому відрізку відповідає цілком певне значення y, причому байдуже як встановлено це відповідність - аналітичної формулою, графіком, таблицею чи навіть просто словами».

Ця функція задана двома формулами і словесно. Вона відому роль аналізі. Аналітично яку можна визначити лише з допомогою досить складної формули, не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно середині 19 століття після тривалої змагань думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного висловлювання, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний наголос переважно загальному визначенні поняття функції робиться на ідею соответствия.

У другій половині 19 століття після створення теорії множин в поняття функції, крім ідеї відповідності було включено і в ідеї безлічі. Таким чином, у його своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється так: якщо кожному елементу x безлічі А поставлене відповідність певний певний елемент y з багатьох У, то кажуть, що у безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображене силою-силенною У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їх безлічі У - значеннями функції; у другий випадок x - прообрази, y - образи. У сучасному сенсі розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можна, і заповнюють відрізка a ( x ( b, про який ідеться у визначенні Дирихле. Досить зазначити, наприклад, на функцию-факториал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовно, звісно, не лише у величинам і числам, до іншим математичним об'єктах. Наприклад, до геометричних постатям. При будь-якому геометричному перетворення ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна «функція» у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і др.

Подальший розвиток математичної науки о 19-й столітті грунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, який став классическим.

Подальший розвиток поняття функции

(20 століття - ...).

Вже від початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, натолкнувшихся на явища, які потребують ширшого погляду фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу друком в 1930 року книжки «Основи квантової механіки» Поля Дірака, найвидатнішого англійського фізика, однієї з засновників квантової механіки. Дірак ввів так звану дельта-функцию, що виходила далеко далеко за межі класичного визначення функції. У неперервному зв'язку з цим радянський математик М.М. Гюнтер й інші вчені було опубліковане у 30-40 роках нашого століття роботи, у яких невідомими не є функції точки, а «функції області», краще відповідає фізичної сутності явищ. Приміром, температуру тіла у точці практично визначити не можна, тоді як температура у певній області тіла має конкретний фізичний смысл.

Загалом вигляді поняття узагальненої функції було запроваджено французом Лораном Шварцем. У 1936 року, 28-річний радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окреме питання узагальненої функції, яка охоплює і дельта- функцію, і застосував створену теорію до вирішення низки завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні послідовники Шварца - І.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і др.

Винайдення логарифмів.Джон Непер.

Логари́фм (від грец. λόγος — «слово», «відношення» і грец.ἀριθμός — «число») — математична операція оберненапіднесенню до степеня.

Число   називається логарифмом числа   за основою  якщо 

Логарифми були введені Джоном Непером на початку 17 століття як засіб спрощення розрахунків. Вони швидко почали застосовуватися вченими та інженерами для пришвидшення виконання обчислень використовуючи логарифмічні лінійки ітаблиць логарифмів. Наприклад, можна значно спростити обчислення добутку використовуючи важливу властивість: логарифм добутку є сумою логарифмів множників:

Сучасне означення логарифмів введено Леонардом Ейлером, який у 18 столітті пов'язав їх з показниковою функцією.

Джон Не́пер (англ.John Napier; *1550—†4 квітня 1617) — шотландськийматематик, винахідниклогарифмів.

Можна з великою певністю припускати, що Непер був знайомий з книгою «Arithmetica integra» Михайла Штіфеля, в якій вперше знайшла свій вираз ідея логарифма. Головним предметом самостійних робіт Непера була тригонометрія, а визначальним їхнім напрямом і метою — скорочення і спрощення обчислень. Здійсненою в тому, що обезсмертило ім'я Непера, - винаході логарифмів. Викладу результатів цього винаходу було присвячено твір, надрукований в 1614 р. в Едінбурзі під заголовком: «Mirifici logarithmorum canonis descriptio, ejusque usus, in utraque Trigonometria, ut etiam in omni logistica mathematica, amplissimi, facillimi et expeditissimi explicatio; authore et inv e ntore Joanni Nepero, barone Merchistanii etc.» (56 стор. тексту і 90 стор. таблиць). Твір розділений на 2 книги, з яких перша займається логарифмами, а друга — плоскою і сферичною тригонометрією разом з додатками логарифмів.

П'ять розділів першої книги висловлюють відповідно визначення, властивості логарифмів, опис таблиць, їх вживання і приклади, а з 6 розділів, що складають другу книгу, перші дві розглядають рішення прямо- і косокутних прямолінійних трикутників, а 4 останні — займаються сферичними трикутниками. З викладених в них результатів самостійних досліджень Непера. Особливо важливими мають вважатися його аналогії, що розглядаються в VI-й розділу. Також надзвичайно вдало задумано зведення всіх випадків, що представляються прямокутними сферичними трикутниками, в дві пропозиції. Утворення прогресії, арифметичної, члени якої Непер називав на початку numeri artificiales, а пізніше логарифмами, і геометричною, такою, що складається з чисел, відповідних логарифмам, проводилося ним за допомогою наступних механічних міркувань про перебіг (fluxus) крапки. З точки A тече точка B, що протікає в першу одиницю часу шлях від A до C, в другу — від C до D і т.д. Якщо ці шляхи рівні, то простори, пройдені від початку рухи до кінця кожної з послідовних одиниць часу, представлять члени арифметичної прогресії.

Разом з цим рухом існує і рівночасне з ним інше (synchronus motus), тобто таке, при розгляді якого кладуться в підставу ті ж одиниці часу, як і при першому. Але простори, прохідні в ці одиниці часу, не рівні, вони зменшуються пропорційно. Саме, якщо в першу одиницю часу пройдена 1/m всього майбутнього точці шляху, то в другу вона пройде 1/m шляху, що залишився, і т.д., тобто, якщо прийняти важ майбутній крапці від початку руху шлях за одиницю, то простори, прохідні в послідовні одиниці часу, представляться рядом 1/m, 1/m∙[(m-1)/m], 1/m∙[(m-1)/m]², 1/m∙[(m-1)/m]³…, а частини всього шляху, що залишаються після кожної одиниці часу для подальшого проходження, складуть наступну убуваючу геометричну прогресію:

1-1/m = (m-1)/m, (m-1)/m-(1/m)∙[(m-1)/m] = [(m-1)/m]², [(m-1)/m]²-(1/m).[(m-1)/m]2 = [(m-1)/m]³…

члени якої, починаючи з першого, розташовані відповідно до членів першої або арифметичної прогресії. Вибір синуса або числа, якому відповідає логарифм 0, Непер залишає вільним, хоч і указує, що найменші утруднення представляються при виборі синуса тотуса (sin 90°). Дослідження таблиць синусів і їх логарифмів, складених Непером на підставі викладених міркувань, показало, що ці логарифми зовсім не гіперболічні або натуральні, як це було прийнято думати в історії математики унаслідок затвердження Монтюкла, а в підручниках з часів Лакруа, що назвав гіперболічні логарифми Неперовими. Іншими словами, виявилось, що підстава Неперових логарифмів є не e =2,718281828., але абсолютно інше число (10/е ^0,1) ⁷=9999997.

Склад Неперових таблиць наступний. Кожні дві сусідні сторінки відносяться до одного і того ж числа кутових градусів, написаного зверху, або, що те ж саме, до градусів, доповнюючому перше до 89° і написаному знизу. Кожна сторінка містить в собі 7 стовпців, з яких в першому і останньому поміщені числа хвилин від 1 до 30 або від 30 до 60 у висхідному порядку зверху вниз в першому і в зворотному порядку в останньому. Стовпці 2 і 6 з написом Sinus містять синуси кутів, що знаходяться в одних горизонтальних рядках, або косинуси додаткових до них. Стовпці 3 і 5, озаглавлені Logarithmi, містять в собі логарифми поміщених поряд з ними синусів. Нарешті, середній або 4 стовпець, з написом Differentiae, містить різниці між написаними справа і зліва від нього логарифмами, що представляють через формулу log sinφ — log cos φ = log tang φ логарифми тангенсів. Неперові таблиці, окрім свого прямого призначення — давати логарифми синусів, косинусів і тангенсів, могли використовуватися також і для знаходження логарифмів натуральних чисел. Щоб визначити, наприклад, log 137, достатньо, знайшовши в таблиці секансів дане 13703048=sec 43°8, відшукати в Неперових таблицях — log cos 43°8' = 3150332.

У першому виданні своїх таблиць Непер нічого не сказав про способи їх обчислення. Він присвятив їм твір, хоч і написаний навіть раніше самих таблиць, але що залишилося і після смерті автора не обробленим остаточно. У такому вигляді воно і було надруковано його сином Робертом при другому виданні таблиць, що вийшло в 1619 р., під окремим заголовком: «Mirifici logarithmorum canonis constru з tio. Una cum annotationibus aliquot doctissimi D. Henrici Briggii, in eas et memoratam appendicem» (Едінбурґ, 1619). У прикладеному до цього твору додатку автор говорить головним чином про методи обчислення логарифмів у тому випадку, коли логарифм = 0 належить одиниці. Тут, тому, вперше, хоч і не з особливою ясністю, виставляється схожість між логарифмом і показником, мовиться про підставу системи логарифмів, хоча тільки у вигляді числа, що має логарифмом одиницю, нарешті, робляться уривчаті зауваження і про обчислення звичайних логарифмів. Неперу належить ще третій твір, також присвячений головній меті робіт автора — скороченню і спрощенню обчислень. Воно озаглавлене «Rabdologiae seu numerationis per virgulas libri duo: cum appendic e de expeditissimo multiplicationis promptuario, quibus accessit et arithmeticae localis liber unus» (Едінбурґ, 1617) і описує винайдений автором рахунковий прилад (див. Неперові палички). Твір цей перекладений голландською і італійською мовами. У поточному сторіччі було видано вперше четвертий математичний твір Непера під заголовком: «De arte logistica» (Лондон, 1842). Коротка біографія Непера, разом з докладним каталогом його робіт знаходиться при надрукованому в 1889 р. англійському перекладі «Mirifici logar ithmorum canonis constructio».

ІСААК НЬЮТОН (1643—1727 pp.)

Ісаак Ньютон народився 4 січня 1643 р. в селі Вулсторп (біля міста Грантема) у родині бідного фермера. Батько помер ще до народження сина. Ісаак був кволою дитиною і ніхто не вірив у те, що він житиме. Коли йому було три роки, мати вдруге вийшла заміж і виїхала з ферми. Дитина залишилась із бабусею, яка докладала всіх сил, щоб найкраще виховати свого хворобливого внука. Першу науку Ісаак проходив у сільській школі, а в 12 років бабуся віддала його до найближчої міської школи у м. Гран-тем. Спочатку Ісаак учився погано і невідомо, як склалася б його доля, якби не випадок, що трапився з ним у школі. Один з його однолітків під час суперечки побив Ісаака. Він дуже переживав, що не може відплатити, бо кривдник був значно сильніший. Тоді Ньютон вирішив зробити інакше: перевершити суперника у навчанні. Невдовзі наполегливою працею він досяг своєї мети: вчителі і навіть директор школи прилюдно визнали його найкращим учнем.

Вже у цей час Ньютон почав цікавитись механікою. У квартирі аптекаря Кларка, де він жив, була невеличка майстерня з повним набором інструментів. Аптекар дозволяв Ньютону користуватись інструментами. Тут і виявились характерні риси майбутнього вченого — кмітливість і винахідливість. J3m виготовляв моделі машин і самі машини: побудував водяний годинник, самохідну карету і оригінальний вітряк, який рухала миша, спеціально для цього приручена. Крім того, він досить добре малював і писав вірші, а також читав багато книжок, які були у бібліотеці аптекаря.

Після закінчення школи Ньютон вступив у 1661 p. до Триніті-коледжу Кембріджського університету. Тут він із захопленням вивчає твори видатних математиків: «Геометрію» Декарта, праці відомого англійського математика Джона Вал-ліса, особливо його трактат «Арифметика нескінченних величин», та інші, слухає лекції професора математики Ісаака Барроу, який мав винятково благотворний вплив на молодого Ньютона. (Наполеглива праця, вдумливі шукання і творчі здібності дали свої наслідки: Ньютон протягом семи років одержував усі наукові ступені університету і в 1668 р. став магістром мистецтв. У зв'язку з епідемією чуми Ньютону довелося майже на 2 роки залишити Кембрідж і переїхати в своє рідне село Вулсторп. У цей період він відкрив закон всесвітнього тяжіння, а також займався розробкою важливих проблем вищої математики.

Повернувшись до Кембріджа, Ньютон продовжує свої наукові дослідження і в 1669 р. подає професору Барроу працю про теорему бінома, трактат про нескінченні ряди і принципи обчислення нескінченно малих. Барроу був вражений дослідженнями молодого Ньютона і побачив у ньому гідного заступника на своїй посаді професора математики. Ньютону було всього 26 років, коли йому запропонували зайняти кафедру математики в Триніті-коледжі Кембріджського університету (1669 p.). Молодий професор ретельно виконував покладені на нього обов'язки, проте весь вільний час віддавав своїм дослідженням.

Коли його праці, передані професорові Барроу, стали відомі широким науковим колам, до Ньютона прийшла слава видатного математика. За пропозицією одного з членів Лондонського Королівського Товариства (Англійська Академія наук) у 1672 р. Ньютона було обрано членом цього Товариства.

Триніті-коледж, де жив і працював Ньютон, вважався релігійним закладом, і всі його постійні співробітники повинні були стати ченцями. Перед Ньютоном постала проблема — або стати ченцем, або залишити посаду професора в університеті. На клопотання колег Ньютона король Карл II, зважаючи на його видатні заслуги, залишив вченого викладачем в університеті. Проте Ньютон втратив право на одержання частини прибутків релігійної університетської корпорації. Щоправда, йому було дозволено одержувати деяку винагороду з фондів, внесених до університету його засновником Генрі Лукасом.

У 1685 р. Ньютона від університетської корпорації обрали депутатом парламенту Англії.

Жив він, як і раніше, в університеті дуже скромно, віддаючи весь свій час науковим дослідженням. Але сталась біда. Внаслідок неуважності виникла пожежа, під час якої згоріла лабораторія і багато записів ученого, зроблених під час досліджень з різних галузей науки. Ця подія так вплинула на здоров'я Ньютона, що він був на грані божевілля. Тепер він рідко бував на засіданнях парламенту, менше займався науковою роботою. Треба було змінити умови життя, і, здавалося, сама доля прийшла йому на допомогу. Один з колишніх студентів Ньютона лорд Монтегю, який був канцлером державної скарбниці запропонував йому (1695 р.) посаду наглядача Монетного двору в Кенсінгтоні поблизу Лондона, а згодом і посаду директора цього двору (1699 p.). Зміна умов і поліпшення матеріального становища цілюще вплинули на здоров'я Ньютона. Тепер, коли життя його змінилось на краще, здавалося б, він знову розгорне свою наукову діяльність. Проте виконання обов'язків директора Монетного двору забирали в нього майже весь час. Наукових досліджень він не облишив, але в другій половині свого життя зробив значно менше, ніж у першій. Однак слава Ньютона, як великого вченого, продовжувала зростати. У 1699 р. його обрали іноземним членом Паризької Академії наук, а в 1703 р.— президентом Лондонського Королівського Товариства. У цьому званні він і залишався протягом двадцяти чотирьох років, аж до кінця свого життя.

Англійський уряд, беручи до уваги наукові заслуги і світову славу Ньютона, виявив своє піклування про нього. У 1705 р. королева Англії Анна, відвідавши Кембрідж, надала Ньютону дворянське звання і нагородила його титулом рицаря. У цей час Ньютон перебував на вершині своєї слави. Всі визнавали його виняткові заслуги в галузі науки і схилялись перед його генієм.

Ньютон зробив визначні відкриття; в галузі механіки, математики і астрономії. Усі найголовніші дослідження він провів у період перебування в Кембріджі. Одним з найвидатніших відкриттів Ньютона був метод обчислення нескінченно малих величин — «метод флюксій» (1665—1666 p.), остаточно оформлений і досконало викладений у вступі до трактату «Про квадратуру кривих» (видано лише в 1704 р. У цьому трактаті Ньютон пише, що він розглядає математичні кількості не як такі, що складаються з дуже малих сталих частин, а як такі, що утворюються неперервним рухом. Лінії описуються неперервним . рухом точок, поверхні — рухом ліній, об'єми — рухом поверхонь, кути — обертанням сторін і т. д. Він помітив залежність між швидкістю наростання «кількості» і «кількістю».

Внесок у розвиток математики Лейбніца

Ґотфрід Вільгельм Лейбніц (Ляйбніц)(нім. Gottfried Wilhelm Leibniz; 1 липня 1646,Лейпциг — 14 листопада1716,Ганновер) — провідний німецькийфілософ,логік,математик,фізик,мовознавецьта дипломат.

Передбачив принципи сучасноїкомбінаторики. Створив першу механічну лічильну машину, здатну виконувати додавання, віднімання, множення й ділення. Незалежно від Ньютона створив диференціальне йінтегральне числення і заклав основи двійкової системи числення. У рукописах і листуванні, які було надруковано лише в середині 19 ст., розробив основи теорії детермінантів. Зробив вагомий внесок у логіку і філософію. Мав надзвичайно широке коло наукових кореспондентів, багато з ідей викладено в рукописах і листуванні, що ще й досі повністю не надруковано.

Лейбніц шукає можливості для розширення наукових контактів. Він розпочинає листування з Ольденбургом, секретарем Лондонського наукового товариства. Восени 1672 р., з нагоди дипломатичної місії від Бойнебурга у Парижі, Лейбніц знайомиться з Гюйгенсом і за його керівництвом розпочинає дослідження з теорії рядів і знаходить славетну формулу

Під впливом Гюйгенса Лейбніц вивчає праці Паскаля, Грегоріта інших з інфінітезімальної геометрії, тобто питання дотичних до кривих, і виходить з ідеєю «функції», в сучасній термінології — похідної, таким чином винаходячи центральну концепцію математичного аналізу.

У 1675 році Лейбніц створює диференціальне й інтегральне числення і згодом опубліковує головні результати свого відкриття, випередивши Ньютона, який ще раніше прийшов до схожих результатів і писав про них Лейбніцу у приватній переписці .

В 1684 році Лейбніц публікує першу у світі велику роботу по диференціальному численню: «Новий метод максимумів і мінімумів», причому ім'я Ньютона в першій частині навіть не згадується, а в другій заслуги Ньютона описані не цілком ясно. Тоді Ньютон не звернув на це уваги. Його роботи з аналізу почали видаватися тільки з 1704 року. Згодом через це виникла багаторічна суперечка між Ньютоном і Лейбніцем про пріоритет відкриття диференціального числення. Ньютоннаписав два листа до Лейбніца, в яких повідомив про свої дослідження з аналізу, але без викладання методів. У відповідь Лейбніц описав деякі зі своїх методів, щодо яких Ньютон зневажливо зауважив: «…не розв'язане жодне попередньо відкрите питання…».

В 1686 році Лейбніц поділяє дійсні числа на трансцендентні таалгебраїчні. Вперше вводить у друк символ   для інтегралу(і вказує, що ця операція обернена диференціюванню).

Лейбніц виклав свої дослідження з математичного аналізу у декількох мемуарах, починаючи з «Nova Methodus pro Maximis et Minimis, Itemque Tangentibus, qua nec Fractas nec Irrationales Quantitates Moratur, et Singulare pro illi Calculi Genus» («Новий метод для максимумів і мінімумів, а також дотичних, якому не заважають ні дробні, ні ірраціональні кількості, і дивовижний вид числення для цього»), надр. в Acta Eruditorum в 1684 р. Зокрема, вже перший мемуар містить нотацію   і правила для діференціювання добутків, часток і степенів. Оскільки жодні з результатів методу флюксійІсаака Ньютона, який він розробляв принаймні з 1671 р., ще не було надруковано (Ньютоновські «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» з'явились лише у 1687 р.), ці публікації Лейбніца згодом призвели до надзвичайно лютої і тривалої суперечки щодо пріоритету у створенні диференціального та інтегрального числення. Так чи інакше, ідеї Лейбніца та його нотація мали набагато більший вплив на розвиток математичного аналізу протягом наступного століття, особливо на континенті.

Ще одним із визначних досягненнь Лейбніца був його трактат «Dynamica» з аналітичної механіки, який підсумував дослідження, розпочаті у 1676 р.