[Ред.]Зв'язок з булевим кільцем
Докладніше: Теорема Стоуна про представлення булевих алгебр
Кожна булева алгебра еквівалентна булевому кільцю і навпаки:
Операції булевого кільця:
Кожна скінченна булева алгебра ізоморфна алгебрі всіх підмножин скінченної множини (полю множин). Тому число елементів булевої алгебри завжди є ступенем 2.
[Ред.]Аксіоматизація
В 1933 американський математик Едвард Хантінгтонзапропонував наступну аксіоматизацію для булевих алгебр:
комутативність:
асоціативність:
аксіома Хантінгтона:
Герберт Робінс задав питання: чи можна скоротити третю аксіому так, як подано нижче
аксіома Робінса:
Алгебра логіки (двійкова алгебра)
Найважливішим прикладом булевої алгебри є булева алгебра з двома елементами — одиничний елемент 1 та нульовий елемент 0. Ця алгебра є фундаментом функціонування цифрових дискретних систем. Операція в такій алгебрі має назву "логічного АБО" (logical OR), операція -- "логічного І" (logical AND), а елементам 1 та 0 ставляться у відповідність твердження "істина" (true) та "неправда" (false). Результати цих двох операцій можуть бути зведені в такі таблиці:
|
|
Така двійкова алгебра відіграє ключову роль в описі цифрових схем (насамперед це стосується цифрових схем беззворотних зв'язків).
Геометрія Лобачевського
ГеометріяЛобачевського(гіперболічна геометрія) — одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за виключенням аксіомипро паралельність, що замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського.
Евклідова аксіома про паралельні твердить:
через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її.
В геометрії Лобачевського замість неї приймається наступна аксіома:
через точку, що не лежить на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.
Геометрія Лобачевського має широке застосування як в математиці, так і у фізиці. Історичне її значення полягає у тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість існування геометрії, відмінної від евклідової. Це ознаменувало нову епоху в розвитку геометрії і математики загалом.
[Ред.]Історія
Джерелом геометрії Лобачевського слугувало питання аксіоми про Паралельні прямі, котра відома також як П'ятий постулат Евкліда (під цим номером у списку постулатів із «Начал» Евкліда знаходиться твердження, еквівалентне до наведеної аксіоми про паралельні прямі). Цей постулат, складніший порівняно з іншими, довгий час викликав спроби довести його на основі інших постулатів.
Ось неповний список учених, що займались доведенням V постулату до XIX ст.:
давньогрецькі математики Птолемей (II ст.), Прокл (V ст.) (доведення Прокла базується на припущенні скінченності відстані між двума паралельними),
Ібн аль-Хайсам з Іраку (кінець X ст. — початок XI ст.) (Ібн аль-Хайсам намагався довести V постулат, виходячи з припущення, що кінець рухомого перпендикуляру до прямої описує прямую лінію),
іранський математик Омар Хайям (друга половина XI — початок XII ст.),
азербайджанський математик Насиреддин Тусі (XIII ст.) (Хайям та Насиреддин при доведенні V постулату виходили з припущення, що дві збіжні прямі не можуть при продовженні стати розбіжними при перетині),
німецький математик К. Клавій (1574),
італійські математики
П. Катальді (вперше в 1603 надрукував роботу, повністю присвячену питанню паралельних прямих),
Дж. Бореллі (1658), Дж. Вітале (1680),
англійський математик Джон Волліс (1663, опубліковано в1693) (Уолліс грунтує доведення V постулату на припущенні, що для кожної фігури існує подібна їй, але не рівна фігура).
Доведення вказаних вчених зводились до заміни V постулату іншими припущеннями, що здавались очевиднішими.
Дослідження алгебри р-нь в роботах Пфейффера
Гео́ргій(Ю́рій)Васи́льович Пфе́йффер(* 24 жовтня1872,Сокиринці — † 10 вересня1946, Київ) —українськийматематик.Академік АН УРСР (від1920 року).