8. Основы планирования эксперимента. Проведение эксперимента и обработка его результатов.

Для компенсации влияния случайных погрешностей каждый эксперимент рекомендуется повторить n раз. При проведении исследований приходится иметь дело с тремя вариантами дублирования экспериментов: 1) с равномерным дублированием экспериментов; 2) с неравномерным дублированием экспериментов; 3) без дублирования экспериментов.

При равномерном дублировании все строки матрицы планирования имеют одинаковые числа параллельных экспериментов. В случае неравномерного дублирования числа параллельных экспериментов  неодинаковы. При отсутствии дублирования параллельные эксперименты не проводятся. Наиболее предпочтительным из трех вариантов дублирования является первый. При этом варианте эксперимент отличается повышенной точностью, а математическая обработка экспериментальных данных - простотой.

Обработка результатов эксперимента при равномерном дублировании. Для каждой строки матрицы планирования по результатам n параллельных экспериментов находят среднее арифметическое значение параметра оптимизации:

где u - номер параллельного эксперимента; y_ju - значение параметра оптимизации в u-м параллельном эксперименте j-й строки матрицы.

Статистической дисперсией называют среднее значение квадрата отклонений случайной величины от ее среднего значения:

                                              (16.4)

Ошибка s_j эксперимента определяется как корень квадратный из дисперсии

Для проверки сомнительных, т. е. резко выделяющихся результатов, используют специальные критерии; одним из таких критериев является отношение U (ГОСТ 11.002-73). Чтобы оценить принадлежность резко выделяющихся результатов y_j max или y_j min к данной нормальной совокупности и принять решение об исключении или оставлении их в составе выборки, находят отношение

или 

где y_j max - наибольшее значение параметра оптимизации среди его значений, полученных в n параллельных экспериментах j-й строки матрицы планирования; y_j min - наименьшее значение параметра оптимизации среди его значений, полученных в n параллельных экспериментах j-й строки матрицы планирования.

Если дисперсии   экспериментов однородны, то дисперсию   воспроизводимости вычисляют по зависимости

                                                 (16.5)

где N - число экспериментов  или число строк матрицы планирования.

По результатам эксперимента вычисляют коэффициенты модели. Свободный член b₀ определяют по формуле

                                                                  (16.6)

Коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты, вычисляют по зависимости

                                                  (16.7)

Коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия, определяют по формуле

                                            (16.8)

где i, l - номера факторов; x_ij, x_lj - кодированные значения факторов i и l в j-м эксперименте. Коэффициенты b₀, b_i, b_ij - это оценки теоретических коэффициентов β₀, β_i, β_il  регрессии. При проверке значимости коэффициентов первым способом для определения доверительного интервала вычисляют дисперсии коэффициентов регрессии. Дисперсию s²{b_i} i-го коэффициента определяют по зависимости

                                                        (16.9)

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала. При проверке значимости коэффициентов вторым способом вычисляют t_р - критерий по зависимости

и сравнивают его с табличным t_т. Коэффициент значим, если t_p>t_т для принятого уровня значимости и числа степеней свободы, с которым определялась дисперсия  . Критерий Стьюдента t вычисляют для каждого коэффициента регрессии. Статистически незначимые коэффициенты могут быть исключены из уравнения. После расчета коэффициентов модели и проверки их значимости определяют дисперсию   адекватности. Остаточная дисперсия, или дисперсия адекватности, характеризует рассеяние эмпирических значений y относительно расчетных  , определенных по найденному уравнению регрессии. Дисперсию адекватности определяют по формуле

                                        (16.11)

где   - среднее арифметическое значение параметра оптимизации в j-м эксперименте;  - значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для условий j-го опыта; f - число степеней свободы, равное N - (k + 1); k - число факторов.

Последним этапом обработки результатов эксперимента является проверка гипотезы адекватности найденной модели. Проверку этой гипотезы производят по F-критерию Фишера:

                                                           (16.12)

Если линейная модель адекватна, то переходят к методу крутого восхождения.

Крутое восхождение по  поверхности отклика

Градиентом называют вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Градиент непрерывной однозначной функции j есть вектор:

где   - частная производная функции по i-му фактору;

 - единичные векторы и направлении осей факторов.

Согласно теореме Тейлора о разложении аналитической функции в ряд, частные производные функции по факторам равны по величине и знаку соответствующим коэффициентам регрессии. Следовательно, градиент Ñy функции отклика y есть вектор:

Движение по градиенту обеспечивает наиболее короткий путь к оптимуму, так как направление градиента - это н аправление самого крутого склона, ведущего от данной точки к вершине.

Если изменять факторы пропорционально их коэффициентам с учетом знака, то движение к оптимуму будет осуществляться по самому крутому пути. Этот процесс движения к области оптимума называют крутым восхождением. После этого эксперименты проводят в точках интервала, образованного точками «вилки», до нахождения наилучшего результата.

В случае k факторов расчет крутого восхождения по оси каждого фактора производят аналогичным образом, так как коэффициенты b₁определяются независимо друг от друга. При этом движение по осям всех факторов осуществляют одновременно.

Шаг движения выбирают для одного фактора, а для остальных его рассчитывают по зависимости

                                                   (16.14)

где D_l - выбранный шаг движения для фактора l; D_i -— шаг движения для i-го фактора; b_i, b_l - коэффициенты регрессии i-го и l-го факторов; e_i, e_l - интервалы варьирования i-го н l-го факторов.