10. Основы построения теоретических математических моделей на макроуровне. Способы построения теоретических моделей

При моделировании технических объектов на макроуровне они рассматриваются как динамические системы с сосредоточенными параметрами. Описание процессов их функционирования дается системами обыкновенных дифференциальных уравнений. При построении теоретических моделей используется два подхода: физический и формальный.

Физический подход основан на непосредственном применении физических законов, а формальный использует общие математические принципы при описании физических свойств объектов. Общим в использовании обоих подходов является необходимость построения динамической модели объекта.

Структура динамической модели представляется в виде совокупности взаимодействующих дискретных элементов, каждый из которых наделен соответствующими физическими свойствами. Набор элементов и их свойства определяются способом структурирования.

В динамической модели, построенной на основе метода сосредоточенных масс, все элементы простые. Простой элемент наделен только одним физическим свойством и описывается компонентным уравнением, составленным с использованием соответствующего физического закона. Взаимодействия между элементами динамической модели описываются топологическими уравнениями, выражающими условия равновесия и непрерывности фазовых координат. Топологические уравнения позволяют объединить все компонентные уравнения в общую систему уравнений и получить полную математическую модель технического объекта.

При формировании математической модели технического объекта на основе компонентных и топологических уравнений используют следующие способы: узловой, контурный, метод переменных состояний, табличный метод.

Наибольшую известность и широкое применение получил узловой метод. Он основан на использовании топологических уравнений, выражающих условия равновесия потенциалов в узлах дискретизации динамической системы. Математическая модель объекта получается в виде системы интегро-дифференциальных уравнений, искомыми неизвестными в которых являются фазовые переменные типа потока, характеризующие состояние сосредоточенных масс.

Метод переменных состояния ориентирован на получение математической модели в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. Однако представление структуры динамической модели в этом методе гораздо сложнее, чем в узловом, и требует выполнения большого объема подготовительной работы, которая не поддается автоматизации.

Табличный метод использует исходные компонентные и топологические уравнения непосредственно, без каких-либо преобразований, поэтому автоматизировать его легко и просто. Однако математическая модель при этом получается высокого порядка и имеет избыточное число фазовых координат. Система уравнений оказывается переопределенной. Количество уравнений значительно превышает число степеней свободы системы. Это приводит к неустойчивости вычислительных алгоритмов при решении полученной системы уравнений.

Контурный метод применяется в электротехнике и строительной механике, где схемы взаимодействия конструктивных элементов образуют замкнутые контуры прохождения сигналов. Применение его для других технических объектов требует построения схемы замещения (эквивалентной схемы) и сопряжено со значительными сложностями формализации процесса составления математической модели.

При структурировании динамической модели методом функционально законченных элементов выделяемые дискретные элементы не обладают такой общностью, как в методе сосредоточенных масс или в сеточных методах. Количество выделяемых функционально законченных элементов и их свойства в конкретной предметной области определяются ее особенностями. Для описания элементов различных технических объектов используется множество разнообразных математических моделей. Это создает определенные преимущества при моделировании, так как исключаются любые ограничения на способы описания физических свойств элементов. Однако при этом теряется межпредметная унификация математических описаний, что требует создания и хранения в памяти ЭВМ библиотеки математических моделей элементов всех возможных технических объектов. Тем не менее, при создании специализированных САПР в конкретных технических областях часто отдается предпочтение методу функционально законченных элементов.

Широкое применение для построения математических моделей технических объектов находит формальный подход. Он основан на использовании интегральных вариационных принципов аналитической механики. Одним из наиболее мощных теоретических методов формального моделирования является вариационный принцип Гамильтона—Остроградского. Он применим к техническим объектам различной физической природы (механическим, гидравлическим, электрическим и др.). Для систем с сосредоточенными параметрами вариационный принцип приводит к уравнениям Лагранжа второго рода.