4. Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции.

Электростатические силы являются консервативными, а поле — потенциальным. Найдём выражение потенциальности поля. Так как — пробный заряд и , то:

Так как работа потенциальных сил на замкнутом контуре равна нулю, то

Мы получили интегральный вид теоремы о циркуляции. Выражение вида называется циркуляцией (вихрем) вектора напряжённости по замкнутому контуру. Получим дифференциальную форму теоремы о циркуляции. Для этого рассмотрим перемещение заряда по бесконечно малому контуру и определим циркуляцию.

Найдём работу по перемещению заряда по замкнутому контуру в плоскости :

12:

34:

41:

23:

Так как и , то

Аналогичным образом определяем в плоскостях и :

Получили три независимых дифференциальных оператора, которые также определяют быстроту изменения проекции вдоль перпендикулярного направления.

(ротор) — вектор, у которого каждый из трёх операторов можно рассматривать как проекции на координатные оси.

— дифференциальный вид теоремы о циркуляции.

5. Дифференциальная форма потенциальности электростатического поля.

Смотри теорему о циркуляции в дифференциальной форме (4. Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции.).

6.Электрическое поле заряженной поверхности.

Р ассмотрим произвольную заряженную поверхность . Выберем произвольное направление нормали и обозначим индексами 2 и 1 величины, относящиеся соответственно к внешней и внутренней относительно нормали стороне поверхности.

Выделим около рассматриваемой точки поверхности призму с образующими , перпендикулярными поверхности, и основанием . Внутри призмы находится заряд ( — плотность поверхностного заряда). Поток вектора напряжённости через поверхность призмы по теореме Остроградского–Гаусса равен:

С другой стороны, этот поток может быть вычислен непосредственно:

Где и — нормальные составляющие векторов и , а — поток вектора напряжённости через боковую поверхность. Так как нормаль направлена противоположно , берётся с минусом. Таким образом:

Поток через бесконечно уменьшенную боковую поверхность высотой будет стремиться к нулю, поэтому:

То есть нормальная составляющая вектора изменяется на при переходе через поверхность.

Р ассмотрим работу по замкнутому контуру, который лежит на поверхности:

Так как стремится к нулю, то:

При переходе через заряженную поверхность, тангенциальная составляющая над и под поверхностью не изменяется.

7. Понятие потенциала. Нормировка потенциала. Потенциал поля точечного заряда. Разность потенциалов. Связь разности потенциалов и напряжённости поля. Понятие эквипотенциальной поверхности.

Работа сил электростатического поля может быть вычислена по следующей формуле:

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, следовательно, работа может быть представлена как разность значение потенциальной энергии:

Отсюда для потенциальной энергии заряда в поле заряда получаем

Значение выбирается несколькими способами (нормировка):

1. Так, чтобы при потенциальная энергия равнялась нулю.

2. Так, чтобы потенциальная энергия на Земле равнялась нулю.

Величина называется потенциалом поля в данной точке и используется наряду с напряжённостью для описания электрических полей. Совмещая последние 2 формулы, получим:

По этой формуле вычисляется потенциал поля точечного заряда.

Разность потенциалов — величина работы по перемещению единичного положительного заряда из конечной точки в начальную.

Разность потенциалов однозначно определяет любые две точки поля. Определим связь разности потенциалов и напряжённости поля:

Перемещаем заряд из точки 1 в 2:

С другой стороны мы ввели разность потенциалов :

То есть напряжённость показывает изменение потенциала при перемещении пробного заряда. Определим координатные составляющие вектора напряжённости:

Дополнительно:

Введение потенциала в рассмотрение позволило ввести ещё один способ рассмотрения поля: с помощью эквипотенциальных поверхностей. Эквипотенциальная поверхность — такая поверхность, на которой точка поля характеризуется одинаковым значением потенциала. Эквипотенциальные поверхности принято изображать таким образом, чтобы разность потенциалов между двумя ближайшими поверхностями была одинаковой.