21. Стационарное магнитное поле в вакууме. Закон Био–Савара–Лапласа. Расчёт магнитного поля прямого тока, кругового тока.
Магнитное поле — область пространства, которая при наличии токов в ней изменяет свои физические свойства и воздействует на токи, находящиеся в нём.
Возьмём закон Ампера:
И
свяжем поле с током
:
Это
и есть закон Био–Савара–Лапласа.
— вектор магнитной индукции магнитного
поля, созданного элементом тока
.
Величина магнитной индукции определяется силой, действующей со стороны магнитного поля на единичный элемент тока при перпендикулярном угле между направлением проводника и вектором магнитной индукции.
— силовая характеристика поля, поэтому
и по принципу суперпозиции сил:
Г
рафически
поле изображается силовыми линиями
— линями, касательные к которым в каждой
точке совпадают с направлением вектора
магнитной индукции. Силовые линии
принято изображать так, чтобы через
единичную площадку
всегда проходило
силовых линий.
Магнитное поле прямого бесконечно длинного тока.
Т
ак
проводник линейный, то
рассматривается как геометрическая
сумма
.
— длина перпендикуляра, опущенного из
начала
на
.
Так
как
очень маленький угол, то
,
и его синус равен ему же
Мы
от длины проводника
переходим к углу
,
поэтому интегрирование производится
в полуплоскости с проводником, то есть
от
до
.
М
агнитное
поле кругового тока.
По принципу суперпозиции (sin всегда равен единице):
— магнитный момент, где
— единичный вектор, перпендикулярный
к плоскости проводника. В векторном
виде:
23. Силы, действующие на токи в магнитном поле. Магнитный момент рамки с током. Сила Лоренца.
Однородное магнитное поле (например, соленоид).
,
проводник с током перпендикулярен
вектору магнитной индукции.
Так как поле однородное, то
Рамка с током.
Н
ормаль
рамки перпен6дикулярна вектору магнитной
индукции. Рассчитаем силы, действующий
на каждый элемент рамки отдельно:
На противоположные элементы рамки действуют разнонаправленные силы, поэтому она будет вращаться.
Р
ассчитаем
механический момент этого вращения:
Сила Лоренца.
Сила Лоренца — сила, действующая на единичный заряд. Рассчитаем силу, действующую на объём зарядов:
Рассчитаем силу, действующую на единичный заряд:
Так как сила Лоренца перпендикулярна к нормали плоскости, в которой лежат и , то работа этой силы равна нулю. Вывод: сила Лоренца не может ускорить заряд в магнитном поле, но управляет траекторией движения заряда. Заряд будет вращаться в поле не меняя скорости.
24. Свойства магнитного поля. Теорема Гаусса и о циркуляции в магнитном поле. Понятие монополя.
Теорема Гаусса.
П
осчитаем
поток силовых линий через произвольную
замкнутую поверхность. Как видно из
рисунка, силовая линия если входит, то
обязательно выходит их поверхности,
поэтому поток
Это говорит о том, что в природе не должно существовать заряда как источника магнитного поля (это 1-е свойство). Теоретически таким зарядом являлся бы монополь.
Теорема о циркуляции.
По-хорошему надо рассмотреть движение элемента тока по произвольной траектории в магнитном поле произвольного проводника, но это слишком сложно, поэтому мы будем рассматривать движение элемента тока по окружности в поле бесконечно длинного проводника.
— единичный элемент. Найдём
.
В
месте, где находится элемент тока,
магнитная индукция будет равна:
(смотри задачу о магнитном поле прямого
бесконечно длинного проводника). Так
как элемент тока движется по силовой
линии, то проекция
на
будет равна
.
Так как угол очень малый, то
Эта теорема справедлива для любой траектории, охватывающей проводник с током. Для случая с несколькими проводниками:
Магнитное поле, в отличии от электрического, вихревое. 2-е свойство — магнитное поле не является потенциальным. Теоремы в дифференциальном виде:
