Раздел первый. Решение примерных тестовых заданий.
Часть I. В этой части Вам предлагается 6 заданий, каждое из которых состоит из родственных друг другу вопросов. На каждый из вопросов Вы можете дать один из двух ответов: «Да» или «Нет» поставив отметку в соответствующей клетке таблицы в бланке ответов. Кроме того, Вы можете дать ответ «Не знаю», оставив обе, соответствующие вопросу клетки, пустыми.
Задания первой части состоят из четырёх вопросов. Два из них разобраны и приведены методы решения. Два другие предлагается решить в качестве самоподготовки и свериться с ответом.
Задание
I.
Выяснить,
делит ли точка
отрезок
пополам,
если:
Решение.
Если точка
,
делит отрезок
пополам, то точка
является серединой отрезка
.
Тогда
.
,
.
Следовательно
.
Вывод. Точка делит отрезок пополам.
Ответ: Да.
,
.
Следовательно
.
Вывод. Точка не делит отрезок пополам.
Ответ: Нет.
Ответ: Нет.
Ответ: Нет.
Задание
II.
Известно уравнение прямой на плоскости
Указать принадлежит
ли точка
этой прямой, если известны её координаты:
Решение.
Точка
будет принадлежать прямой, если её
координаты
и
удовлетворяют уравнению этой прямой.
Подставляя координаты точки в уравнение прямой, получим
.
Вывод. Точка не принадлежит прямой.
Ответ: Нет
Подставляя координаты точки в уравнение прямой, получим
.
Вывод. Точка принадлежит прямой.
Ответ: Да
Ответ: Нет
Ответ: Да
Задание
III.
Даны матрицы
,
и
размера
,
соответственно. Ответить, верно
ли указан размер матриц после умножения:
Решение.
Для того чтобы существовало произведение
матриц
и
,
где матрица
размера
,
а матрица
размера
необходимо и достаточно, чтобы число
столбцов первой матрицы равнялось числу
строк второй матрицы, то есть
.
У матрицы
будет строк столько же, сколько их у
матрицы
,
а столбцов столько же, сколько их у
матрицы
.
Следовательно, матрица
будет размера
.
Если матрица имеет размер
,
а матрица
,
то произведение
существует
и имеет размер
.
Вывод. Размер матрицы указан неверно.
Ответ: Нет.
Если матрица имеет размер , а матрица , то произведение
существует
и имеет размер
.
Вывод. Размер матрицы указан верно.
Ответ: Да.
Ответ: Да
Ответ: Нет
Задание
IV.
Выяснить, образуют
ли векторы
базис пространства
,
если:
Решение.
Известно, что любые три линейно независимых
вектора из пространства
образуют базис этого пространства. Для
решения задачи достаточно проверить
являются ли векторы
и
линейно независимыми.
Следовательно,
векторы
и
будут образовывать базис пространства
,
если матрица
размера
составленная из векторов
и
,
как строк или столбцов, имеет ранг равный
.
Составим матрицу , располагая векторы и по строкам,
Далее, используя элементарные преобразования, преобразуем эту матрицу к треугольному виду. Получаем
.
первую строчку умножаем на
и прибавляем ко второй и третьей строкепервую и вторую строчку меняем местами
первую строку умножаем на
и
прибавляем ко второй строкевторую строку умножаем на
и прибавляем к третьей строке
Поэтому
.
Вывод. Векторы и образуют базис .
Ответ: Да.
Составим матрицу , располагая векторы и по строкам,
Далее, используя метод Гаусса, преобразуем эту матрицу к трапециевидному (треугольному) виду. Получаем
.
Поэтому
.
Вывод. Векторы и не образуют базис .
Ответ: Нет.