Часть II.

В этой части Вам предлагается 10 заданий. На каждый из вопросов Вы можете дать один из четырех ответов «a», «b», «c» или «d», поставив отметку в соответствующей клетке бланка ответов. Кроме того, Вы можете дать ответ «Не знаю», оставив все четыре, соответствующие вопросу клетки, пустыми.

Задание 1. Задано уравнение прямой . Указать прямую перпендикулярную данной прямой:

А)

Б)

В)

Г)

Решение. Если две прямые

и

перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением

.

Прямая перпендикулярная заданной прямой должна иметь угловой коэффициент . Этому условию удовлетворяет прямая b).

Ответ: Б).

Задание 2. Задано уравнение прямой . Указать прямую параллельную данной прямой:

А)

Б)

В)

Г)

Решение. Если две прямые

и

параллельны, то их угловые коэффициенты равны

.

Прямая параллельная заданной прямой должна иметь угловой коэффициент . Этому условию удовлетворяет прямая Г).

Ответ: Г).

Задание 3. Найти результат умножения матриц

и :

А)	Б)
В)	Г)

Решение. Для того чтобы существовало произведение матриц , где матрица размера , а матрица размера необходимо чтобы число столбцов первой матрицы равнялось числу строк второй матрицы, то есть . У матрицы будет строк столько же сколько их у матрицы , а столбцов столько же сколько их у матрицы . Следовательно матрица будет размера .

Если то элемент

.

Получаем, что

.

Ответ: В).

Задание 4. Решить матричное уравнение если

, :

А)

Б)

В)

Г)

Решение. Если матрица имеет обратную матрицу, то уравнение

можно преобразовать к виду

.

Так как единичная матрица, то и

.

Для нахождения воспользуемся формулой

где союзная матрица:

Здесь ( ) – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .

Выполнив необходимые вычисления получаем, что

,

откуда

Ответ: Г).

Задание 5. Найти число , при котором векторы и параллельны:

А)

Б)

В)

Г)

Решение. Два вектора

и

будут параллельными, если их координаты пропорциональны, то есть

.

Получаем

.

Откуда следует, что .

Ответ: Б).

Задание 6. Найти число , при котором векторы и , будут перпендикулярны:

А)

Б)

В)

Г)

Решение. Два вектора

и

будут перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Действительно, поскольку

то гарантирует то, что косинус угла между векторами будет равен нулю и, следовательно, сам угол равен . Имеем

Откуда следует, что .

Ответ: В).

Задание 7. Вставьте пропущенные в утверждении слова: система линейных уравнений имеет решение …, ранг расширенной матрицы … рангу основной матрицы

А)	всегда, когда	больше
Б)	тогда и только тогда, когда	равен
В)	если	не равен
Г)	только тогда, когда	больше

Решение. На основании теоремы Кронекера Капели заключаем, что правильная фраза будет: система линейных уравнений имеет решение тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.

Ответ: Б).

Задание 8. Вставьте пропущенные в утверждении слова: векторы линейно независимы …, ранг матрицы координат этих векторов … числу векторов.

А)	всегда, когда	равен
Б)	тогда и только тогда, когда	меньше
В)	если	не равен
Г)	только тогда, когда	не равен

Решение. На основании признака линейной независимости системы векторов заключаем, что правильная фраза будет: векторы линейно независимы всегда, когда ранг матрицы координат этих векторов равен числу векторов.

Ответ: А).

Задание 9. Закончите утверждение: если к системе векторов добавить нулевой вектор, то эта система будет …

А)	нулевой
Б)	неопределенной
В)	линейно зависимой
Г)	линейно независимой

Решение. Поскольку система векторов, содержащая нулевой вектор линейно зависима, то заключаем, что правильная фраза будет: если к системе векторов добавить нулевой вектор, то эта система будет линейно зависимой.

Ответ: В).

Задание 10. Закончите утверждение: всякие два вектора, лежащие на одной прямой …

А)	ортогональны
Б)	коллинеарны
В)	линейно не зависимой
Г)	сонаправлены

Решение. Сопоставляя определения ортогональных, коллинеарных, линейно независимых и сонаправленных векторов, заключаем, что правильная фраза будет: всякие два вектора, лежащие на одной прямой коллинеарны.

Ответ: Б).