Ответ: Да.
Ответ: Нет.
Задание V. Указать, имеет ли система уравнений решение:
Решение. Согласно
теореме Кронекера – Капели система
линейных уравнений
совместна (то есть имеет единственное
решение или бесконечно много решений),
если ранг расширенной матрицы системы
равен рангу матрицы коэффициентов
.
Составим расширенную матрицу системы и преобразуем её методом Гаусса к квазитреугольному виду:
.
Ранг матрицы
коэффициентов
равен
,
а ранг расширенной матрицы
равен
2.
Вывод. Так как
,
то система не имеет решений.
Ответ: Нет.
Составим расширенную матрицу системы и преобразуем её методом Гаусса к трапециевидному виду:
.
Ранг матрицы коэффициентов равен , и ранг расширенной матрицы равен 2.
Вывод. Так как
,
то система имеет решения.
Ответ: Да.
Ответ: Да.
Ответ: Нет.
Задание VI. Укажите верные свойства определителя:
Если к строке определителя прибавить другую строку этого определителя, умноженную на два, то определитель увеличится в два раза.
Если какой-либо столбец определителя равен нулю, то такой определитель равен нулю.
Если все элементы столбца определителя увеличить в три раза, то и определитель увеличится в три раза.
Если матрицу определителя транспонировать, то получившийся определитель транспонированной матрицы будет равен нулю.
Решение.
1.Утверждение неверно, так как, если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец) умноженную на любое число, то определитель не меняется.
Ответ: Нет.
2. Утверждение верно. Для того чтобы убедится в его правильности достаточно воспользоваться свойством определителя об его разложении по строкам или столбцам. В данном случае, раскладывая определитель по элементам нулевого столбца, получим ноль.
Ответ: Да.
3. Утверждение верно, так как если все элементы какой-либо строки или столбца умножить на некоторое число, то значение определителя умножится на это число. Для доказательства этого факта достаточно разложить определитель по элементам строки или столбца элементы, которых умножаются на число.
Ответ: Да.
4. Утверждение неверно. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, и он будет равен нулю только в том случае, если определитель исходной матрицы равен нулю.
Ответ: Нет.
Задание VII. Матрица имеет обратную, если:
квадратная
матрица, определитель которой равен
нулю.диагональная матрица, у которой все диагональные элементы отличны от нуля.
квадратная матрица, ранг которой равен числу строк.
произвольная ненулевая матрица.
Решение. Условие существования обратной матрицы: квадратная матрица имеет обратную матрицу, если её определитель не равен нулю.
1. Матрица не имеет обратной, так как её определитель равен нулю, что противоречит условию существования обратной матрицы.
Ответ: Нет.
2. Матрица имеет обратную, так как определитель диагональной матрицы равен произведению её диагональных элементов. Если эти элементы отличны от нуля, то и определитель не равен нулю.
Ответ: Да.
3. Матрица имеет обратную, так как в этом случае, согласно определению ранга матрицы, определитель матрицы не равен нулю.
Ответ: Да.
4. Матрица не имеет обратной, так как определитель произвольной ненулевой матрицы может равняться нулю.
Ответ: Нет.